Kleine Schwingungen

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Guten Abend,

noch eine andere Frage. Bei kleinen Schwingungen lässt sich bekanntlich jedes beliebige Potential per Taylor entwicklen. Das heißt man nimmt dann den ersten nicht verschwindenen Term und dieser Term ist bekanntlich 2. Ordnung so das wir in etwas die Näherung

Meine Frage wäre:
1)Warum verschwindet bei der Entwicklung das Glied erster Ordnung?
2) Was passiert wenn man Glieder höherer Ordnung noch hinzunimmt? Ist das okay oder kann man das nicht machen?

Vielen dAnk

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Harmonische Schwingungen entstehen durch rücktreibende Kräfte, die linear zur Auslenkung zunehmen:

Das zugehörende Potenzial zweiter Ordnung ist

Ein Potenzial erster Ordnung bedeutet eine konstante Kraft - diese hat aber keine Auswirkung auf eine Schwingung.

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Hallo,

ich danke für die Info, aber genauer gesagt ging es mir um diesen Term

Ich frage mich warum dieser Term bei der Entwicklung um die Ruhelage

denn Null wird?

Und was passiert wenn ich noch höhere Terme als den 2. Ordnung hinzunehme?

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

Ich sehe nich ganz die Frage ein , aber ich will meine Kenntnise einstellen:
Also, wenn wir kleinen Schwingungen einsetzen, es wird U'(q(0)) = 0
.q(0) ist eine Shwebe.Das ist die Bemessung fur kleinen Schwingungen.
Die Bemessung fur dem Potential U(q) ist F(q,dq/dt)=dU/dq ,oder die Gewalt ist ein Derivativ fur einen Potential. Und als wir eine Shwebe haben , es muss F=0 sein , oder dU/dq(q(0))=0 auf die Gleichheit . Taylor Entwicklung ist U(q)=const + dU/dq(q(0))*(q-q(0)) + (zweite derivativ)*(q-q(0))^2/2
Ich entshilduge mich das ich so behabig shreibe . Ich wisse nicht , wie Formulas einsatzen.

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

hohere Terme sind zu klein , so sind KLEINE Shwingungen

Ultima · Anmeldungsdatum: 15.04.2005 Beiträge: 151

Danke schön, den ersten Teil deiner antwort habe ich verstanden und finde ich einleuchtend. Die Begründung warum man keine Terme höherer Ordnung hinzunehmen kann ist mir aber etwas zu knapp! Meinst du vielleicht, wenn man höhere Terme hinzunimmt wird die Charakteristik von kleinen Schwingungen verletzt und es sind dann keine kleine Schwingungen mehr?

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

Entshuldigung, ich musste mehr strikt antworten. So, Taylor entwicklung ist U(q)=const+0*(q-q(0))+const1*(q-q(0))^2/2 + const2*(q-q(0))^3/6+
+...

const1=zweite derivativ und const2 ist dritte derivativ (es ist nicht wichtig).
(q-q(0))^3 ist sehr kleine Grosse , weil es sind kleine Shwingungen , so der Shaft wird sehr nah zum q(0) sein. Also (q-q(0))^3 <<<1.
(q-q(0))^4 wird immer kleiner sein.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich bin mit aVagues Erklärung einverstanden smile

Für den Fall, dass die Formulierung derselben Erklärung in anderen Worten nochmal weiterhilft:

Betrachtet werden kleine Auslenkungen

. Stell dir also vor, das sei eine kleine Zahl, sagen wir zum Beispiel mal 0,001.

Dann ist der erste Term der Entwicklung, der ungleich Null ist, gleich (0,001)^2 mal der Konstante davor. Also von der Größenordnung "ein Millionstel mal irgendwas normal großes"

Und der nächste Term der Entwicklung, also der Term dritter Ordnung, ist gleich (0,001)^3 mal einer Konstante, die nicht viel größer ist als die Konstante vor dem Term zweiter Ordnung.

(Und wenn die Konstanten stark unterschiedlich groß sein sollten, dann wählen wir für diese Überlegung einfach unsere Auslenkung noch viel kleiner, dann passt unsere Näherung wieder, dass die Terme niedriger Ordnung größer sind als die Terme höherer Ordnung Augenzwinkern

).

Man sieht also, der Term dritter Ordnung ist gleich schon deutlich kleiner (für unser angenommenes Zahlenbeispiel für eine kleine Auslenkung um ca. einen Faktor 1000) als der Term zweiter Ordnung.

Und der Term vierter Ordnung ist dementsprechend noch viel kleiner.

Also kann man so eine Entwicklung nach dem Glied der niedrigsten Ordnung ungleich Null abbrechen, und bekommt so eine gute Aussage über das Verhalten der Funktion für ausreichend kleine Auslenkungen. (Sollte die Konstante ungleich Null sein, dann möchte man in der Regel auch noch die nächsthöhere Ordnung ungleich Null wissen, um das Verhalten der Funktion zu beschreiben.)

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@aVague: Ich denke, statt "Gewalt" meinst du "Kraft".

Und könnte es sein, dass du mit "Shwebe" in etwa "Gleichgewichtszustand" oder "lokales Minimum" meinst?

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

Shwebe meine ich Krafte und Shwebe glaube ich auch ist Gleichgewichtszustand (

)