Ladungen im Gleichgewicht?

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

Hi alle zusammen,

Habe hier folgende Aufgabe:

Es ist eine Anordnung von drei Punktförmigen Ladungen, von denen eine mit -2e und die anderen beiden jeweils mit +e geladen sind. Sie bilden die Spitzen eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge l.
Gefragt war nach der gesamten potentiellen Energie des Systems. Das Koordinatensystem war so gelegt, dass die positiven Ladungen symmetrisch auf der x-Achse saßen und die negative Ladung auf der y-Achse

Zu meinem Erstaunen fand ich, dass das System in Ruhe ist, weil die Potentiellen Energien in Summe 0 sind.
Dann habe ich mich gefragt ob das auch ein stabiles Gleichgewicht ist, ob also ein schubs an eine der Ladungen einen Kollaps bewirken würde, oder sich das Dreieck erhält und vielleicht nur verschoben wird.
Wie kann ich so etwas vernünftig untersuchen?

Ich kenne mich etwas mit den virtuellen Verschiebungen von d'Alembert und dem Lagrange Formalismus aus, aber vielleicht gibt es einen einfacheren Weg das zu sehen?

gruß, bishop

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, da bin ich in zwei Punkten noch nicht so recht einverstanden.

Zum einen bekomme ich als potentielle Energie nicht Null, sondern etwas Negatives heraus (nicht 0*..., sondern -3*...). Magst du deine Rechnung nochmal daraufhin kontrollieren?

Und zum anderen beurteilt sich die Stabilität eines Systems nicht nach dem Wert des Potentials (Selbst Null wäre ja noch nicht das Minimum), sondern nach dessen erster Ableitung. Denn das System ist stabil, wenn das Potential sich nicht weiter verringern lässt, indem man sich in irgendeine Richtung weiterbewegt, also in einer Potentialmulde sitzt.

Zum Beispiel könnte man sicher die potentielle Energie des Systems weiter verringern, indem man die negative Ladung noch etwas weier an die positiven Ladungen annähert. (Vielleicht bis in die Mitte der beiden. Vielleicht bekommt man dann eine weitere Optimierung, wenn man den Abstand der beiden positiven Ladungen beginnt, zu verändern. Oder man fragt sich: Wie verhält sich dein korrigiertes Ergebnis für den Fall, dass der Abstand l im gleichseitigen Dreieck gegen Null schrumpft?)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

ich schliesse mich an, da kann was nicht stimmen.
Denn schon alleine die Basis mit den beiden q+ wirkt anziehend auf das 2q- an der Spitze, da sich hier nichts weghebt und immer eine anziehende Komponente übrigbleibt - egal wie gross die Seitenänge des Dreiecks ist.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

hmh shizz, das hat so schön ausgesehen, da habe ich mich wohl etwas zu schnell gefreut Big Laugh

k, mal schaun ob ich den Rechenweg noch schnell posten kann:
In meinem Skript habe ich folgende Aussage:

Das Potential in der Entfernung r von einer elektrischen Punktladung q ist

Dann hab ich mir gesagt, dass zum Beispiel auf die Ladung auf der positiven x-Achse das Potential

wirkt (ich nummeriere die Ladungen von diesem ausgehnd gegen den Uhrzeigesinn) Ladung 1 und 3 sind positiv, ladung 2 hat die Ladung -2q, die Seitenlänge ist immer l

Das Selbe gilt auch für das Potential in der die Ladung 3 sitzt.
Für Ladung 2 gilt:

Das Gesamtpotential ist dann

Keine Ahnung wo ich mich da vertan hab, evtl die falsche Formel benutzt, oder darf man die Potentiale nicht so naiv superponieren wie ich das getan habe? grübelnd

Es sah halt soo schön aus ^^

€dit: Mittlerweile glaube ich an einen Vorzeichenfehler, das ist wohl das was Markus gemeint hat, aber ich bin mir noch nicht ganz sicher Augenzwinkern

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich rechne das anders: Ich addiere nicht die Potentiale (das würde ich machen, wenn ich die Energie einer vierten Probeladung an einer Stelle im Potential unserer drei Ladungen wissen wollte), sondern die Terme für die Arbeit, die man braucht, um diese drei Ladungen zueinanderzubringen.

Also fange ich zum Beispiel mal mit einer einzigen positiven Ladung an. Dann bringe ich die zweite positive Ladung dazu in den Abstand

, das gibt mir einen Ausdruck für die Arbeit mit

im Zähler.

Und dann bringe ich die negative Ladung mit dazu, das gibt mir zwei Ausdrücke für die Arbeit mit je

im Zähler.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

hmh okay das scheint tatsächlich zu funktionieren.
Aber ich sehe meinen Fehler noch immer nicht so recht, denn die potentielle Energie wäre doch einfach

, dann müsste ich doch auch hier auf dein Ergebnis kommen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Welche potentielle Energie meinst du da? Die potentielle Energie welcher Ladung im Feld welcher anderen Ladung(en)? (Wann muss es in deinen Gleichungen also

heißen, wann

, ... , wenn du dann aus den Potentialen die Energien ermittelst?) Wie zählst du dabei systematisch die Gesamtenergie (nicht die Potentiale, die werden ja mit unterschiedlichen Ladungen gewichtet) zusammen, und stellst sicher, dass du dabei z.B. keine Energie doppelt zählst?