Übergangswahrscheinlichkeit

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Hallo an alle!
Folgende Aufgabe macht mir Probleme:
Ich soll die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen 2 Zuständen in einem gestörten (unendlich hohen) Potentialtopf berechnen. Die Eigenenergien und Eigenfunktionen des ungestörten Kastens sind ja:

Die Störung ist:

wobei das U das Kastenpotential ist, das aber =0 ist, weil die Wellenfunktionen nur da existieren. wobei ich mir nicht sicher bin, ob hier mit p der Operator gemeit ist oder nicht. Aber ich denke schon, weil die Störung sonst konstant wäre und alle Energieniveaus anheben würde, die Wahrscheinlichkeit =0 wäre, da es ortogonale Zustände sind, oder? grübelnd

Jetzt soll ich die Übergangswahrscheinlichkei zwischen 2 Eigenzuständen des ungestörten Kastens unter Berücksichtigung der Störung berechnen.

In der Vorlesung hatten wir die Formel

(Wie ich das verstanden habe, steht der Delta-Term für Energieerhaltung, was man eigentlich immer voraussetzen kann. Oder steht das für etwas anderes?)

Ich denke es ist

Und Ausrechnen ergibt:

weil

Ist das so richtig? Wenn ja, dann heißt das also, dass hier nur 0 rauskommt, weil der Impulsoperator eine gerade Potenz hat und deswegen immer ein Sinus nach der Anwendung bleibt? (Und wenn sie ungerade wäre, dann würde es eine Wahrscheinlichkeit geben.) Das würde ja heißen, dass obwohl eine Störung vorliegt, die so hoch ist, es keine Übergänge gibt grübelnd

Das ist irgendwie merkwürdig...

Habe ich irgendwo einen Fehler drin, oder gibt es hier tatsächlich keine Chance für Übergänge? Kann mir jemand helfen?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich würde (wieder mal aus dem Bauch - ich bin in letzter zeit viel zu faul um alles nachzurechnen) sagen, es gibt deshalb keine Übergänge, weil die Eigenfunktionen des ungestörten Hamiltonoperators im Topf gleichzeitig auch Eigenfunktionen des störenden Operators sind, was du ja gezeigt hast: aus einem sinus wird wieder ein sinus, nur mit einem Vorfaktor mit

usw.
Der originale Hamiltonoperator vertauscht mit dem Störoperator, und hat daher den gleichen Satz von Eigenfunktionen (natürlich mit anderen Eigenwerten).

Die neuen Energieeigenwerte sind die Summe der beiden Eigenwerte zu den gleichen Eigenfunktionen:

Oder so ähnlich halt :-) Wie gesagt, bitte im Detail überprüfen!
Big Laugh

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Danke schnudl!
das hört sich gut an, was du sagst.

Ich hab noch eine Frage:
"wie sieht die Lebeszeit für das beschriebene System aus?"
Was ist damit gemeint? Die Eigenfunktionen sind stehende Wellen und von der Zeit unabhängig, daher ist die Lebenszeit unendlich. Aber wenn damit gemeint ist wie lange ein Übergangszustand existiert, dann ist die Lebenszeit 0, da es keine Übergänge gibt.

MfG jentowncity

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich würde ersteres plausibel finden. Allerdings macht es mich stutzig, wenn bei einer Aufgabe Übergangswahrscheinlichkeit und Lebenszeit gefragt ist, und wir nur Null und Unendlich rausbekommen... Big Laugh

PS:
Ausserdem ist noch zu beachten, dass die Übergangsamplitude durch deine Formel lediglich in erster Ordnung beschrieben wird. Ich weiss jetzt nicht, wie die störungstheoretischen Amplituden höherer Ordnung aussehen. Trotzdem glaube ich, es bleibt dabei, wegen der obigen Vertauschbarkeit.

jentowncity · Anmeldungsdatum: 08.05.2005 Beiträge: 132 Wohnort: hamburg

Ja, ich glaube auch eher an die erste Fassung. Für diese Teilaufgabe gibts nur 1 von 11 Punkten, deswegen wird es wohl auch so einfach sein...

Danke nochmal für deine Hilfe schnudl!