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Drakonomikon
Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 16
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 Drakonomikon Verfasst am: 26. Okt 2007 20:57 Titel: 1-D Energieerhaltungssatz |
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Hallo, ich bin der Neue,
Ersteinmal möchte ich hier darstellen was ich bereits habe und dann wo mein Problem liegt.
Aufgabe ist es den Energiesatz herzuleiten, dazu habe ich das hier gemacht:
)
\dot{x})
=\frac{d}{dt}(-V'(x)\dot{x}))
\dot{x}))
\dot{x})
So, jetzt soll ich nach  umstellen und nach t integrieren, um x(t) zu bekommen. Als Tipp ist gegeben besser nach x zu integrieren um Ende t(x) zu bekommen. Aber wie soll ich das machen? Schließlich habe ich kein t in der Gleichung. |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 26. Okt 2007 22:15 Titel: |
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Hallo Drakonomikon  .
Entweder hast Du Dich beim Abschreiben vom Zettel vertan oder Du hast einen bösen Rechenfehler gemacht. In der dritten Zeile ist die linke Seite richtig, aber rechts soll wohl folgendes stehen:
 \right))
Denn
) \right) = \frac{\dd}{\dd x} \left( -V(x) \right) \cdot \frac{\dd x}{\dd t} = - V'(x) \, \dot{x})
Damit verändert sich die letzte Zeile zu
 = E)
Dies ist die wohlbekannte Form von
Du kannst Deine Gleichung jetzt nach  auflösen und danach die Technik der Trennung der Variablen durchführen. Hast Du ein spezielles Potential vorgegeben (z.B. Zentralpotential)? |
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Drakonomikon
Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 16
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| Drakonomikon Verfasst am: 26. Okt 2007 23:22 Titel: |
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Habe ich schonmal übersehen. Danke für die Korrektur. Nach ) umgestellt ist nun so:
=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))})
Und daraus kommt jetzt das Integral:
=\int^{x1}_{x2} \sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))} \, dx)
Und nun? Wie soll man da nach x integrieren bzw. nach t substituieren, wenn ich kenes von beiden habe? |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 26. Okt 2007 23:42 Titel: |
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Das Integral, das Du angegeben hast, muß  enthalten. Besser ist es aber das Potential nicht zeitabhängig anzusehen, sondern Ortsabhängig. Dann erhält man aus der Gleichung
 = \frac{\dd x}{\dd t} = \sqrt{\frac{2}{m}\,(E - V(x))})
mittels der Trennung der Variablen
)}})
Mit der Integration erhält man dann
)}}})
Wenn Du nichts über das Potential ) weißt, ist hier wohl schluß. |
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Drakonomikon
Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 16
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| Drakonomikon Verfasst am: 28. Okt 2007 14:30 Titel: |
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Danke, hast mir das sehr geholfen bei. |
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Drakonomikon
Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 16
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| Drakonomikon Verfasst am: 28. Okt 2007 18:13 Titel: |
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Noch eine kurze Frage, sei das Potential V(x) gegeben, dann wird das Integral am Ende zimelich hässlich. Es sei denn E=0
Zu begründen würde ich dies damit, dass die Ableitung des Energieerhaltungsgesetzes=0 ist, und beim integriren macht man das ja alles wieder rückgängig. |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 28. Okt 2007 19:48 Titel: |
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Na ja, Häßlichkeit liegt im Auge des Betrachters  . Es gibt jedoch viele Potentiale, die zu geschlossenen Lösungen führen. Das Gravitationspotential ist z.B. eines davon.
Die Gesamtenergie null zu setzen kann zu Problemen führen, weil immer gelten muß V(x) < E. Ist die Gesamtenergie null kann die kinetische Energie auch immer nur null sein. Damit hat man dann ein ruhendes Teilchen. Die Bahnkurve ist wirklich trivial. Das führt mich auf weitere Bemerkungen.
An Orten mit V(x) = E hat die Bahnkurve Wendepunkte, da die kinetische Energie hier null sein muß. Sind  und  zwei solcher Wendepunkte, ergibt sich eine periodische Bewegung mit der Periodendauer:
)}}) |
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Drakonomikon
Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 16
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| Drakonomikon Verfasst am: 28. Okt 2007 21:05 Titel: |
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Sei das Potential:
w=Omega (Winkelgeschwindigkeit) |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 28. Okt 2007 21:52 Titel: |
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Soll das Potential nicht eher so sein?
 = \frac{1}{2} \, m \, \omega^2 \, x^2)
Als Hinweis zur Lösung sei die Stammfunktion angegeben:
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Lilo
Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 14
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| Lilo Verfasst am: 28. Okt 2007 22:18 Titel: |
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Ja genau dieses Potential meint er!
Ich habe die selben Aufgaben, habe die Stammfunktion schon gebildet und komme nun bei dem Potential nicht weiter... |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 28. Okt 2007 22:46 Titel: |
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Hallo Lilo .
Man muß den Ausdruck
}})
derart umformen, daß er der Form
entspricht. Hast Du das schon gemacht? Wie sieht Dein Integral aus? Wo ist genau das Problem?
Man kann eine Verschönerung einführen, wenn man z.B. sagt, daß zum Zeitpunkt t = 0 der Ort x(0) = 0 sein soll. Die Integrationsgrenzen sind dann entsprechend anzupassen. |
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Lilo
Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 14
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| Lilo Verfasst am: 28. Okt 2007 23:07 Titel: |
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also meine aufleitung wäre dann arcsin ( V(x) / E)
dann setzte ich V(x) ein aber ich weiß nicht wie ich das weiter auflösen soll |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 28. Okt 2007 23:52 Titel: |
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Wie bitte? Lilo, was versuchst Du da  ? Ich habe das Potential doch schon netterweise eingesetzt. In meinem letzten Beitrag muß der obere Integralausdruck derart umgeformt werden (simple Termumformung), daß ein Ausdruck entsteht, der die Form des unteren Integrals einnimmt. Dazu ist nur ein wenig Ausklammern unter der Wurzel notwendig. Durch das Ausklammern erhält man noch einen Term, der eine Konstante ist. Diese Konstante kann vor das Integral gezogen werden. |
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Lilo
Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 14
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| Lilo Verfasst am: 29. Okt 2007 14:26 Titel: |
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also
hab das so umgeformt das ich da jetzt
1/wurzel(2E/m) Integral(dx/wurzel(1-v(x)/E))
da stehn habe und das mitm arcus aufgeleitet wär doch eig
1/wurzel(2E/m) arcsin(wurzel(v(x)/E)
das problem is nur wenn ich das mit dem 2E/m nich rausziehen würde würde 2/m wegfalln...und das wär ja acuh nich sinn der sache oder???
hab dann ma das für V(x) eingesetz und als ergebnis iwas mit sinus rausbekommen wenn mans nach x(t) auflöst kann das sein??? |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 29. Okt 2007 15:07 Titel: |
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Verstehe ich das richtig, daß Du tatsächlich versuchst das folgende Integral direkt zu lösen?
}{E}}})
Oh jeh, NEIN! Wie willst Du so ein Integral lösen, wenn Du nicht vorher die Vorschrift für das Potential einsetzt? Außerden hat dieses Integral nicht die Form um den Arcussinus als Stammfunktion zu erhalten. Alles in allem ist es einfach quatsch, was Du machst.
Lies Doch bitte, was ich in den letzten beiden Äußerungen geschrieben habe und halte Dich einfach an die Empfehlung! Dann kommst Du auch auf die Lösung  . |
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Lilo
Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 14
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| Lilo Verfasst am: 29. Okt 2007 21:07 Titel: |
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Angenommen ich habe das jetzt richtig verstanden... dürfte folgendes richtig sein oder?
t= (1/ wurzel( 2E / m) ) Integral dx / wurzel ( 1 - (mw²/ 2E)x²)
dann könnte ich dieses jetzt mit deinem Vorschlag arcsin ( x/a ) weiter machen oder?
Danke dass du mich noch nicht als hoffnungslos abgestempelt hast ^^ |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 29. Okt 2007 21:46 Titel: |
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Hallo Lilo.
Es gibt keinen Grund alle Hoffnung fahren zu lassen. Ich frage mich nur, ob ich mich so umständlich oder mißverständlich ausdrücke .
Um das Integral nach Formel lösen zu können, muß  allein stehen. Es muß also so aussehen (die Integrationsgrenzen lasse ich ausnahmsweise weg):
)}} = \int \frac{\dd x}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - \frac{1}{2} \, m \, \omega^2 \, x^2)}} \\ &=& \int \frac{\dd x}{\sqrt{\frac{2 \, E}{m} - \omega^2 \, x^2}} = \frac{1}{\omega} \int \frac{\dd x}{\sqrt{\frac{2 \, E}{m \, \omega^2} - x^2}})
Wie muß also der Parameter a aussehen? Versuche auch eine physikalische Interpretation dafür zu finden. Wie könnte eine sinnvolle Integrationskonstante aussehen? |
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