Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

Hallöchen

ich bräuchte mal eure Hilfe. Komme bei einer Aufgabe auf keinen gescheiten Ansatz:

Betrachte ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen Potentialtopf mit Länge L und unendlich hohen Wänden. Verwende die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel, um die erlaubten Energieniveaus zu bestimmen.

So, ich weiß jetzt nicht, wie ich hier am besten Anfangen soll.
Zunächst haben wir ja die Bohr-Sommerfeld-Regel:

mit n=1,2,3,... , q=koordinate, p=Impuls =m*v

Wie muss ich denn nun am besten vorgehen? Was setze ich für p und q ein?

LG skywalker

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ein Kastenpotenzial ist ein Kasten, und nicht was du gezeichnet hast. Das ist eher ein harmonisches Potenzial.

Im Kasten wird das Teilchen an den Wänden hin und her reflektiert und hat dazwischen, da die Energie konstant ist, gleichen Impulsbetrag.

Daher

oder

Das sind die erlaubten Impulse im Kasten.

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

achso, jetzt wird mir das klar. Danke :-)
Somit klären sich schon einige Fragen, die ich mir gestellt hatte.Vielen Dank.

Reicht es dann völlig aus, wenn ich in der Gleichung

, mit

dann deinen Impuls nach n umgestellt in die Gleichung für die Energie einsetze?

Das würde dann heißen, dass die erlaubten Energieniveaus wie folgt lauten würden:

wäre das so ok?

Und vielen dank schonmal für deine Hilfe.

Aber eine Frage habe ich noch. Hast du es an der festgelegten Länge L des Potentialtopfes gesehen, dass es sich um ein Kastenpotential handeln muss? Oder gab es da andere Erkennungskriterien?

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Hoi

Lass die Frequenz aus dem Spiel, die brauchst du nicht. Die erlaubten Impulse hast du ja schon. Die erlaubten Energien jetzt herauszufinden sollte nicht mehr allzu schwer sein. Denk an ein Teilchen, nicht an einen Oszillator.

Das Potential ergibt sich so aus der Aufgabenstellung. Innerhalb einer Region (eines Topfes) verschwindet es, ausserhalb nimmt es einen gewissen Wert an. Das ergibt dann halt dieses Kastenpotential. Oder Gegenfrage: Wie kommst du auf das harmonische Potential?

Der Vollständigkeit halber: Die Abszissen-Beschriftungen

und

sind auch eher verwirrend...

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

Hi,

also, um nochmal auf die Energie zurückzukommen ... stimmt ja, wir betrachten ein Teilchen. Ist dann folgende Energie richtig?

mit einbeziehen des Impulses:

wäre das jetzt die gefragten Energieniveaus? Oder habe ich immer noch was falsch gemacht?

Meine Begründung zu der Wahl dieser Energie:
Ich hatte mir gedacht, dass man dieses Teilchen dann so behandeln könnte, als wäre es ein Elektron, dass auf höhere Energieniveau eines Wasserstoffspektrums springen würde.

Weshalb ich auf ein harmoischen Oszillator kam:
Hatte mich zu der auf eine Beispielaufgabe fixiert, was dann zu diesen parallelen führte.

..... Aber so im nachhinein kann die Energie auch nicht stimmen. Da es sich ja immer noch um ein Teilchen, und nicht speziell um ein Elektron handelt. Dann ist das wohl eher falsch, was ich da eben gemacht habe, oder?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Wie wärs mit

also

PS: Achtung: Die Bohr Sommerfeldsche Quantisierung ist nur eine Näherung und hat daher nur historischen Wert. Hier stimmt sie zufällig.

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

tut mir leid, wenn ich nochmal nerven sollte. Aber ich habe da noch eine Frage zu dem Integral:

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Es soll ja ein geschlossener weg sein. Daher muss man wieder zum Anfangspunkt zurückkommen.

ist immer entlang eines geschlossenen Weges !

gibt es nicht !

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

ahso, ok. Danke :-)

Dann noch eine Frage, dies wurde auch so bei meinem Beispiel mit einem harmonischen Oszillator gemacht .. und habe es auch daraus nicht verstanden...

Das Energieniveau besteht ja im Prinzip doch nur aus der kinetischen Energie

mit

Wieso kommt denn die Potentielle Energie nicht zum tragen?
Zumindest wenn ja ein Teilchen auf einer Kreisbahn eines Atoms auf eine niedrigere Bahn springt, so besteht das Energieniveau doch aus der subtraktion der potentiellen Energie von der kinetischen.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die potenzielle Energie ist innerhalb des Topfes ja konstant, da dieser einen ebenen Boden hat. Die gesamte Energie ist daher die konstante potenzielle Energie plus die kinetische Energie.

Die Potenzielle Energie ist immer auf irgendetwas bezogen, bei uns auf der Erde bezieht man sich zB auf das Bodenniveau, und sagen E = mgh. Die Physik würde sich aber nicht ändern, wenn wir die Energie auf den Erdmittelpunkt bezögen, dann hätten wir

wobei E0 die Energie ist, die man braucht, um ein Teilchen vom Erdmittelpunkt zur Oberfläche zu bringen.

Indem wir uns auf den "Boden" des Topfes beziehen, und dort willkürlich die potenzielle Energie mit Null annehmen, hat man dann nur noch die kinetische Energie. Beim harmonischen Oszillator ist dies anders, da das Potenzial innen nicht konstant ist, sondern quadratisch mit x zunimmt. Hire kommt neben der kinetischen Energie noch eine Nullpunktsenergie dazu.

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien