Legendre-Transformation

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Hallo,

auf Wikipedia steht für die Legendre-Transformation

Heißt das, ich kann sowohl mit

als auch

rechnen? Ich finde nämlich beide Angaben auch in verschiedenen Büchern.

Im Nolting heißt es, die negative Legendretransformierte ist die Hamiltonfunktion. Das kann dann aber nicht auf beide Definitionen zutreffen. Nolting verwendet

.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo shadow07.

Wenn ich das richtig verstehe, willst Du wissen warum die Transformation von der Langange-Funktion in die Hamilton-Funktion über

durchgeführt wird und nicht über

Beides ist sicherlich mathematisch machbar und führt dazu, daß H' = -H. Aber wie ein alter Professor von mir sagte, nicht alles, was mathematisch machbar ist, hat auch physikalisch einen Sinn.

Im Wikipedia-Artikel steht auch, daß die Wahl des Vorzeichens von der physikalischen Bedeutung abhängt. Die Hamilton-Funktion H repräsentiert die Gesamtenergie (kinetische + potentielle Energie) eines Systems. Die Funktion H' ist dann die negative Gesamtenergie. Der Nutzen von H' ist also begrenzt.

Reicht das als Erklärung?

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Hallo,

ja, das war mir soweit schon klar.

Also würde man generell

bevorzugen?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Was meinst Du mit "generell"? Etwa, daß man immer die eine Transformationsvariante verwendet? Aber das kann doch die Mathematik nicht entscheiden. Es wird die Transformation gewählt, die zu einem physikalisch sinnvollem Ergebnis führt. Das kann für ein Problem die eine Variante sein, für ein zweites die andere Variante. Das muß man von Fall zu Fall entscheiden.

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Wenn ich irgendeine Funktion gegeben habe und ich soll davon die Legendre-Transformation berechnen, dann sehe ich ja nicht was sinnvoller wäre. So gesehen kann ich es nur von einem rein mathimatischen Aspekt betrachten.

Das hätte ich auch vielleicht von Beginn an erwähnen sollen. Meine Frage bezog sich eigentlich nur auf die Berechnung irgendeiner gegebenen Funktion. D.h. also es ist egal welche Variante ich wähle.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Wie gesagt, mathematisch ist beides rechenbar. Ich habe einmal in meinem Bronstein nachgeschlagen, wie dort die Legendretransformation angegeben wird. Übertragen auf die von Dir bisher verwendete Notation wird die Form

definiert. Auf das Beispiel der Hamiltontransformation angewandt müßte das also

sein.

Wenn also keine weiteren Auflagen in der Aufgabenstellung gemacht werden, würde ich mich an diese Darstellung halten.

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Genau das wollte ich wissen. Danke.