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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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 kommando_pimperlepim Verfasst am: 08. Sep 2007 20:16 Titel: Dyadische Integralzauberei |
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Um zu zeigen, dass es kein magnetisches Monopol gibt, hat mein Prof folgende Umformung vorgenommen:
=\ointop_{Flaeche}\left[\vec{r}\circ d\vec{F}\right]\vec{j}(\vec{r}))
Gibt es hier jemanden, der diesen Rechenschritt versteht und mir erklären könnte? |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 09. Sep 2007 01:02 Titel: |
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Ich mach' mal einen Versuch. Ich behandele die rechte und die linke Seite ersteinmal einzeln und Veranstalte einige Umformungen. Im letzten Schritt, beim Vergleich der daraus entstehenden Terme bin ich mir über die Regelrichtigkeit nicht sicher. Ich hoffe da kann jemand anderes einspringen.
Linke Seite:
 \cdot \vec{j}(\vec{r}) \, \dd V = \int\limits_V \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y} , \frac{\partial}{\partial z} \right) \right) \cdot \begin{pmatrix} j_x \\ j_y \\ j_z \end{pmatrix} \, \dd V)
 \\ y \cdot \left( \frac{\partial}{\partial x} j_x + \frac{\partial}{\partial y} j_y +\frac{\partial}{\partial z} j_z \right) \\ z \cdot \left( \frac{\partial}{\partial x} j_x + \frac{\partial}{\partial y} j_y +\frac{\partial}{\partial z} j_z \right) \end{pmatrix} \, \dd V)
 \\ y \cdot \left( \vec{\nabla}\vec{j} \right) \\ z \cdot \left( \vec{\nabla}\vec{j} \right) \end{pmatrix} \, \dd V)
 \, \dd V)
Rechte Seite:
 \cdot \vec{j}(\vec{r}) = \int\limits_{F=\partial V} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \left(\dd F_x, \dd F_y , \dd F_z \right) \right) \cdot \begin{pmatrix} j_x \\ j_y \\ j_z \end{pmatrix})
 \\ y \cdot \left( j_x\,\dd F_x + j_y\,\dd F_y + j_z\,\dd F_z \right) \\ z \cdot \left( j_x\,\dd F_x + j_y\,\dd F_y + j_z\,\dd F_z \right) \end{pmatrix})
)
Wenn nun jemand bestätigt, daß ich richtig gerechnet habe und der Satz von Stokes anwendbar ist, sind beide Terme gleich:
 \, \dd V = \oint\limits_{F=\partial V} \vec{r} \cdot \left( \vec{j} \cdot \dd \vec{F} \right)) |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 10. Sep 2007 16:34 Titel: |
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Danke für deine Antwort. Aber dass ) ist, ist nicht das Problem. Vielmehr wie du sagtest, dass es auf jeden Fall keiner der 2 geläufigen Spezialfälle
des STOKESschen Satzes ist.
Man müsste den allgemeinen Satz
irgendwie wiederfinden, indem man
) als Differentialform  formuliert, aber da ist das  problematisch, weil da schon die Parametrisierung drin steckt.  |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 11. Sep 2007 11:18 Titel: Re: Dyadische Integralzauberei |
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| kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben: | | Um zu zeigen, pimpernell, dass es kein magnetisches Monopol gibt, hat mein Prof folgende Umformung vorgenommen |
Allerdings möchte ich bezweifeln, dass man die Nichtexistenz von Monopolen so beweisen kann: histeron proteron
Will sagen, diese Formeln sind eine Folge der Feststellung, dass es keine magn. Monopole gibt. Würden welche gefunden, müsste man eben die Maxwell-Gleichungen anpassen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetischer_Monopol
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 11. Sep 2007 13:26 Titel: |
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Hallo.
Der Versuch mich wieder in das Cartan'sche Differentialkalkül einzuarbeiten nimmt doch mehr Zeit in Anspruch als gedacht. Aber vielleicht ist das eine Aufgabe für Leopold vom Matheboard. Er hat das dort schon einmal unter Beweis gestellt. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 11. Sep 2007 14:16 Titel: |
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Was soll hier eigentlich gezeigt werden ? Ich bin schon ziemlich verwirrt...
Sicher haben wir, wenn man mit r(i) die i-te Komponente von r bezeichnet
 = \vec j \cdot \vec \nabla r_i + r_i \vec \nabla \vec j = j_i + r_i \vec \nabla \vec j)
Wenn man nun über gegebenes V integriert
 = \int dV j_i + \int dV r_i \vec \nabla \vec j)
Mit Gauss kann der erste Ausdruck in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden
oder
\big]_i= \big[\int dV \ \vec j \ \big]_i + \big[\int dV \ \vec r \ \underbrace{ \vec \nabla \cdot \vec j }_{0}\big]_i)
Das wäre genau die gesuchte Identität, bis auf das Volumsintegral über die Stromdichte. Ohne diesen Zusatzterm kann die Identität in voller Allgemeinheit ja nicht stimmen, wie man sich leicht anhand eines zylindrischen Stromflusses klarmachen kann.
Wenn die Ströme lokal sind, kann das Volumen aber so gross gewählt werden, dass j überall auf der Oberfläche verschwindet.
Ebenso hat man in der Magnetostatik
weshalb auch
Das wäre aber der Entwicklungskoeffizient erster Ordnung (=Monopol) in der Multpolentwicklung des Vektorpotentials, womit gezeigt ist, dass es in der Magnetostatik (und natürlich im Rahmen der bekannten Maxwellgleichungen) keine magnetischen Monopole geben kann. Was die Elektrodynamik betrifft, wird es aber komplizierter (Eichfreiheit, etc...)...
| isi1 hat Folgendes geschrieben: | | kann: histeron proteron |
Da kann ich mich nur anschliessen, denn die Existenz eines Vektorpotenzials ergibt sich ja gerade aus der Quellfreiheit des Magnetfeldes, setzt also schon voraus, dass es keine Monpole gibt.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 11. Sep 2007 18:51, insgesamt 11-mal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 11. Sep 2007 14:41 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | Hallo.
Der Versuch mich wieder in das Cartan'sche Differentialkalkül einzuarbeiten nimmt doch mehr Zeit in Anspruch als gedacht. |
Glaub ich dir gern , ist aber nicht erforderlich 
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 12. Sep 2007 11:40 Titel: |
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Wenn wir über diesen mathematischen Beweis sprechen, ist es eine konventionelle Selbstverständlichkeit, dass die MAXWELL-Gleichungen axiomatisch Wahrheit definieren, die mit der Natur bisher nur erfahrungsgemäß übereinstimmt. Ich denke, der Unterschied zwischen einer Umformung und einem Experiment ist uns allen klar.
Vielen Dank schnudl, die Komponentenzerlegung ist der Punkt, auf den ich nicht gekommen bin. Könntest du an folgender Zusammenfassung bestätigen, dass ich dich richtig verstanden habe?
=\intop_{V}dV\underbrace{\left[\overset{\downarrow}{\vec{r}}\circ\vec{\nabla}\right]}_{{\displaystyle \mathbb{I}}}\vec{j}(\vec{r})=\intop_{V}dV\overset{\downarrow}{\vec{r}}\left(\vec{\nabla}\vec{j}(\vec{r})\right)=\sum_{i}\vec{e}_{i}\intop_{V}dV\vec{\nabla}\left(\vec{j}(\vec{r})\overset{\downarrow}{x_{i}}\right))
\overset{\downarrow}{x_{i}}\right)-\intop_{V}dV\vec{\nabla}\left(\overset{\downarrow}{\vec{j}}(\vec{r})x_{i}\right)\right])
x_{i}\right)-\intop_{V}dV\left(\vec{\nabla}\overset{\downarrow}{\vec{j}}(\vec{r})\right)x_{i}\right])
Der erste Term verschwindet bei beschränkter Stromverteilung und der zweite wegen der Kontinuitätsgleichung.
Währe schön, wenn ich es verstanden hätte, dann hätten sich doch nur die zwei Standardintegralsätze darin versteckt. Vielen Dank nochmal! |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 12. Sep 2007 13:15 Titel: |
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naja, mit diesen Dyaden hab ich mich nicht auseinandergesetzt, aber ist die erste Zeile denn richtig ? Das kann ich nicht nachvollziehen.
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 12. Sep 2007 14:55 Titel: |
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???
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 13. Sep 2007 10:44, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 12. Sep 2007 18:53 Titel: |
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A=B
Die dyadische Eins wirkt so:
\vec{a}\right)_{i}=\underbrace{\overset{\downarrow}{x_{i}}\partial_{k}}_{{\displaystyle \delta_{ik}}}a_{k}=a_{i})
C=D
Man kann
ersetzen, da der Klammerausdruck neben  in C als Ganzes nur ein Skalar ist. Dann kannst du  wiederum in die Divergenz ziehen, weil es auch ein Skalar ist. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 12. Sep 2007 21:30 Titel: |
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| kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben: | A=B
Die dyadische Eins wirkt so:
\vec{a}\right)_{i}=\underbrace{\overset{\downarrow}{x_{i}}\partial_{k}}_{{\displaystyle \delta_{ik} \ ?????????}}a_{k}=a_{i})
Wie kommst du auf die Deltafunktion oben im underbrace ?
Ich weiss zwar nicht was eine dyadische eins ist, aber @magneto42 hat das "Dyadische" sehr plausibel so interpretiert:
Linke Seite:
und kommt auf
 \, \dd V)
Das ist doch bei ihm ganz was anderes, nämlich ein Ausdruck wo die Divergenz von j vorkommt und nicht einfach der vektor j
C=D
...Dann kannst du wiederum in die Divergenz ziehen, weil es auch ein Skalar ist.
 Sorry, das meinst du aber nicht ernst...
Kettenregel:
 = \Phi \partial_i \Psi_i + \partial_i \Phi \Psi_i)
oder
 = \Phi \vec \nabla \vec \Psi + (\vec \nabla \Phi) \vec \Psi)
Du hast den zweiten Term auf der rechten Seite unterschlagen! |
Ohne jetzt schulmeistern zu wollen, aber du solltest deine Zeilen nochmals überdenken... 
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 13. Sep 2007 08:42 Titel: |
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Der senkrechte Pfeil hat eine Bedeutung. Er sagt: "Nabla wirkt auf." Die Klammern geben nur die algebraische Reihenfolge an, in der Skalarprodukte berechnet werden, der Nabla wirkt aber bis zum Term D ausschließtlich auf , sodass da keine Divergenz von  steht. Da habe ich mich mit " in die Divergenz ziehen" auch falsch ausgedrückt aber die Umformungen müssten richtig sein.
Die zitierte Umformung von magneto ist zwar so richtig, aber wenn der Nabla in seiner Dyade auch auf wirken soll, dann hat er keine Eins eingefügt. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 13. Sep 2007 10:20 Titel: |
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OK, mit dieser exotischen Schreibweise (die mir in meinem doch sehr umfangreichen Bücherregal noch kein einziges Mal untergekommen ist) kann ich nun nachvollziehen was du meintest. Ehrlich gesagt sehe ich derzeit keinen Sinn darin. Für mich ist das nur eine Methode, einfache Zusammenhänge möglichst umständlich hinzuschreiben...Bist du sicher, dass das nicht nur eine Sache ist, die dein Prof irgendwann mal aus rein didaktischen Gründen erfunden hat ?
Dann kann man hier im folgenden Ausdruck (würde ich naiverweise annehmen) auch eine solche eins einschieben, da eins eben eins ist...:
Wenn der Pfeil nun meint, dass dorthin (d.h. auf r) der Nabla Operator wirkt, dann müsste das doch sein (wenn ich dich recht verstanden habe)
???
Also hab ich dich offenbar noch nicht verstanden...Oder muss das in der Klammer immer auf einen Vektor wirken?- da stimmt es dann wiederum
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 13. Sep 2007 11:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 13. Sep 2007 10:58 Titel: |
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Aha, dann ist der Pfeil also kein besonderer Hinweis gewesen sein Augenmerk auf etwas zu richten . Einen Operator, der sowohl rechtsseitig wie auch linksseitig wirkt, trifft man nicht alle Tage. Aber das heiß dann auch, daß meine Rechnung für die linke Seite nicht korrekt ist .
@kommando_pimperlepim: kannst Du eine Quelle nennen, wo man diese Rechenregeln nachlesen kann? Meine Kenntnisse über Dyaden beruhen noch auf der Vorlesung über theoretische Mechanik, wo der Trägheitstensor als Dyade eingeführt wurde. Ein Nabla tauchte dort nicht auf.
Der nächste Versuch für die linke Seite:
 \cdot \vec{j}(\vec{r}) \, \dd V = \int\limits_V \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y} , \frac{\partial}{\partial z} \right) \right) \cdot \begin{pmatrix} j_x \\ j_y \\ j_z \end{pmatrix} \, \dd V)
 & \frac{\partial}{\partial y}(x\,j_y) & \frac{\partial}{\partial z}(x\,j_z) \\ \frac{\partial}{\partial x}(y\,j_x) & \frac{\partial}{\partial y}(y\,j_y) & \frac{\partial}{\partial z}(y\,j_z) \\ \frac{\partial}{\partial x}(z\,j_x) & \frac{\partial}{\partial y}(z\,j_y) & \frac{\partial}{\partial z}(z\,j_z) \end{pmatrix} \, \dd V)
 \right) \, \dd V)
Hm , schöner sieht das aber nicht aus... |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 13. Sep 2007 11:15 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | | Aha, dann ist der Pfeil also kein besonderer Hinweis gewesen sein Augenmerk auf etwas zu richten . Einen Operator, der sowohl rechtsseitig wie auch linksseitig wirkt, trifft man nicht alle Tage. |
| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | | kannst Du eine Quelle nennen, wo man diese Rechenregeln nachlesen kann? |
Ich hab sowas hier gefunden
Ich finde die Schreibweise zwar immer noch ziemlich entbehrlich, aber es gibt sie. Der dort beschriebene und mystifizierte Gradient eines Vektors ist einfach  und damit ein Tensor zweiter Stufe - da braucht man keine esoterischen Schreibweisen einzuführen. Vielleicht sollte man dann bei Tensoren dritter Stufe eine Schreibweise einführen, wo der Nabla senkrecht aus dem Papier wirkt oder auf die Blattrückseite...
Jedenfalls wirken im Zitat die Nablas scheinbar immer nach rechts.
@magneto42: Ausserdem hast Du im zweiten Versuch den Nabla auch auf j wirken lassen. Das stünde im Widerspruch zu der Aussage, Nabla wrkt nur auf das gekennzeichnete...
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 13. Sep 2007 12:06 Titel: |
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Ich habe mich nur an das gehalten was kommando_pimperlepim gesagt hat: "Der Pfeil heißt Nabla wirkt auf". Also habe ich den Operator auf das losgelassen, was er in seiner ersten Gleichung derart gekennzeichnet hat.
| kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben: | ) |
Warum in seiner zweiten Gleichung der Term den Pfeil nicht mehr hat, weiß ich nicht .
| kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben: | ) |
Ich verstehe desweiteren weder Motivation noch Ziel dieser Rechnung. Kann man denn zeigen, daß es keine magnetischen Monopole gibt? Ich bin bisher davon ausgegangen, daß dies eine Forderung aus der menschlichen Beobachtung ist. Welche Naturgesetze lassen denn einen schlüssigen Beweis zu? Die Monopolfreiheit ist doch selbst ein Naturgesetz, oder? |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 13. Sep 2007 12:15 Titel: |
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Ja die Dyade muss auf einen Vektor wirken.
Wenn man sich daran gewöhnt hat und solche Methoden braucht, ist es mathematisch gesehen eher eine Vereinfachung. Die Idee dahinter ist nur, dass komplizierte Verknüpfungen, wie das doppelte Skalarprodukt durch die Dyade als Matrix ausgedrückt werden können.
=\left(\begin{array}{ccc}a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & a_{3}b_{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{array}\right))
Ein weiterer Vertreter dieses Prinzips ist auch
worin sich schon der verwegene Gedanke verbirgt:
)
genauso wie
)
Aber ich bin schon froh das verstanden zu haben, dieser Thread hat mir einiges gebracht. Für dich gibts jetzt auch eine Dyadenfreie elegantere Version, die ich heute im Jelitto gefunden habe:
Für beliebiges konstantes  gilt:
\vec{j}\right]=\partial_{k}j_{k}a_{l}x_{l}=\left(\partial_{k}\overset{\downarrow}{j}_{k}\right)a_{l}x_{l}+\partial_{k}j_{k}a_{l}\overset{\downarrow}{x}_{l}=\left(\vec{\nabla}\overset{\downarrow}{\vec{j}}\right)\vec{a}\vec{r}+\vec{a}\vec{j}=\vec{a}\vec{j})
wobei letzterer Schritt wieder durch die Kontinuitätsgleichung begründet ist. Dann ist
=\intop_{V}dV'\vec{a}\vec{j}(\vec{r}')=\intop_{V}dV'\vec{\nabla}'\left[\left(\vec{a}\vec{r}'\right)\vec{j}(\vec{r}')\right]=\ointop_{\partial V}d\vec{F}\left(\vec{a}\vec{r}'\right)\vec{j}(\vec{r}')=0)
und da beliebig ist gilt
=0)
Schönen Dank nochmal. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 13. Sep 2007 12:16 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe mich nur an das gehalten was kommando_pimperlepim gesagt hat: "Der Pfeil heißt Nabla wirkt auf". Also habe ich den Operator auf das losgelassen, was er in seiner ersten Gleichung derart gekennzeichnet hat. |
ok, da hab ich den zweiten Pfeil übersehen...
Mines Erachtens soll die Rechnung (siehe mein Beitrag oben, aber ohne Dyaden) nur zeigen, dass das magn. Monopolmoment, definiert durch den ersten Term der Entwicklung
 = \frac{1}{\vert x \vert} \int j_i(x') dV + \frac{\vec x}{\vert x \vert^3} \int j_i(x') \vec x' dV + \ldots)
verschwindet. Dass es in der Natur keine Monople gibt, ist damit natürlich nicht gesagt, da in diesem Fall diese Entwicklung gar nicht möglich wäre.
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 13. Sep 2007 12:25 Titel: |
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Tschuldigung, hatte übersehen dass es schon eine Seite 2 gibt, und auf schnudls letzten Post auf Seite 1 geantwortet.
Ich denke insgesamt sind wir uns mathematisch einig, haben nur etwas den Faden verloren. Daher nochmal zur letzten Ungereimtheit ohne viele Formeln und Zitate:
magnetos Kommentar bzgl. der 2 Pfeile:
In meinem ersten Post, habe ich den Term mit 2 Pfeilen geschrieben, weil es der Zwischenschritt der Umformung war, den ich nicht verstanden habe. Später haben wir die gesamte Rechnung diskutiert, in der die zwei Pfeile erst später (bei Rückwärtsanwendung der Produktregel) auftreten.
| magneto42 hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe desweiteren weder Motivation noch Ziel dieser Rechnung. Kann man denn zeigen, daß es keine magnetischen Monopole gibt? Ich bin bisher davon ausgegangen, daß dies eine Forderung aus der menschlichen Beobachtung ist. Welche Naturgesetze lassen denn einen schlüssigen Beweis zu? Die Monopolfreiheit ist doch selbst ein Naturgesetz, oder? |
| kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben: | | Wenn wir über diesen mathematischen Beweis sprechen, ist es eine konventionelle Selbstverständlichkeit, dass die MAXWELL-Gleichungen axiomatisch Wahrheit definieren, die mit der Natur bisher nur erfahrungsgemäß übereinstimmt. Ich denke, der Unterschied zwischen einer Umformung und einem Experiment ist uns allen klar. |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 13. Sep 2007 12:27 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
Mines Erachtens soll die Rechnung (siehe mein Beitrag oben, aber ohne Dyaden) nur zeigen, dass das magn. Monopolmoment, definiert durch den ersten Term der Entwicklung (...) verschwindet. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 13. Sep 2007 12:31 Titel: |
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| kommando_pimperlepim hat Folgendes geschrieben: | | Für dich gibts jetzt auch eine Dyadenfreie elegantere Version, die ich heute im Jelitto gefunden habe. |
Diese Umformung ist völlig identisch mit meiner obigen, nur mit einem Hilfsvektor a, den man dann aber eh nicht braucht.
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 13. Sep 2007 12:32 Titel: |
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Danke, da lichtet sich doch gleich die geistige Nebelwand . |
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