Wahrscheinlichkeitsdichte

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Ich soll folgende Aufgabe lösen:
1. Benutzen Sie die Funktion für die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Quantenmechanik, die definiert ist durch

indem Sie die Funktion

nehmen!
2.Begründen Sie, wieso die Wahrscheinlichkeitsdichte das Quadrat des Betrages von psi ist. grübelnd

Ich habe da keine Ahnung, wie man das macht! Wie begründet man diese
Aussage?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Wie berechnet man denn den Betrag eine komplexen Zahl ?

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Ich weiß, dass man eine Art Pythagoras zum Betrag einer komplexen Zahl
berechnen muss. Ich komme auf eine Wahrscheinlichkeitsdichte von
w = 10
Jetzt zu meinem Hauptproblem: Wieso ist die Wahrscheinlichkeitsdichte das Quadrat vom Betrag des psi? Wie kann man dies begründen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mit deiner Rechnung bin ich einverstanden smile

Dein konkretes Beispiel für die Funktion

halte ich für eher untypisch. Denn quantenmechanische Wellenfunktionen normiert man normalerweise so, dass als Wert des Betragsquadrates der Wellenfunktion immer eine Zahl zwischen Null und Eins herauskommt, die man dann also als Wahrscheinlichkeit interpretieren kann.

Magst du zum Beispiel mal in den folgenden Link schauen?

http://www.delta.uni-dortmund.de/fileadmin/files/bpa/STRUKTUR_MATERIE/Struktur_Materie_03.pdf

Auf dem Weg dahin, zu verstehen, warum das Betragsquadrat der Wellenfunktion einer Wahrscheinlichkeit entspricht, dürfte dir am besten weiterhelfen, mal konkret anzuschauen,

* was für Experimente man in der Quantenmechanik beschreibt (das sind zum Beispiel die ersten zehn Seiten des Links),

* wie so eine Wellenfunktion, die von Ort und Zeit abhängt, mathematisch aussehen kann (zum Beispiel Seite 11 im Link)

* wie die räumliche Abhängigkeit des Betragsquadrates einer solchen Wellenfunktion (und damit die grafische Auftragung der Wahrscheinlichkeit, ein schwingendes Teilchen an der Stelle x anzutreffen) in einem Diagramm aussehen kann (vergleiche zum Beispiel Seiten 21 und 22 im Link)

und wie man mit Wellenfunktionen rechnet (zum Beispiel in der Schrödingergleichung, Seite 17 und folgende)

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Natürlich kann ein solcher Link nur einen relativ knappen Eindruck davon geben, wie das in der Quantenmechanik mit Wellenfunktionen funktioniert. Wenn du da noch nicht gleich alles verstehen solltest, dann ist das nicht schlimm, denn um das richtig zu lernen, brauchen die meisten eine Vorlesung im Physikstudium und/oder gute Quantenphysik-Bücher.

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Vielen Dank für diesen Link smile

!
Aber ich frage mich immer noch:
Wieso gilt:

und nicht

?
Ich möchte wissen, wieso die Wahrscheinlichkeitsdichte nun ein Quadrat und nicht eine 3.Potenz oder so ist! Wer kann mir das erklären?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich würde versuchen es mit der Intensität einer Welle (z. B. Licht, aber auch Schallwellen, etc.) zu vergleichen. Dort ist die Intensität auch immer Das Betragsquadrat der Auslenkung. Nur die Interpretation ist eine andere: Statt kontinuierliche Intensitäten hat man eine Wahrscheinlichkeit für einen einzigen diskreten Ort. Aber bei vielen Teilchen (z. B. Photonen beim Licht) geht das eine ja wieder in das andere über.
Das ist jetzt kein mathematischer Beweis oder so, aber vielleicht eine Erklärung, wie man auf die Idee überhaupt gekommen ist.

Gruß
Marco

PS: Ich sehe gerade, dass es in dem Link auch über die Intensität erklärt wird. Welcher Schritt ist Dir denn genau unklar? Wie man auf das Quadrat bei der Intensität kommt, oder was die Intensität mit der Wahrscheinlichkeit zu tun hat?

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Mir ist sowohl unklar, dass die Intensität ein Quadrat ist, als auch, dass
die als Wahrscheinlichkeit interpretiert wird!
Wenn ich die Schallintensität

nehme, wobei P = F*v ist.
Dann erhalte ich die Formel

also ein Quadrat der Auslenkung. Bei Licht gab es auch eine Formel mit
einem Betag zum Quadrat, aber ich weiß nicht, wie man darauf gekommen ist. Kann mir das jemand erklären (siehe Anfang des Links von dermarkus)? Und wieso wird die Intensität als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert und wieso werden die Konstanten
bei der Intensitäts-Formel dabei weggelassen?