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speedyschmidt
Anmeldungsdatum: 05.01.2006
Beiträge: 48
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 speedyschmidt Verfasst am: 06. März 2007 17:18 Titel: Schrödingergleichung-Integrationskonstante |
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Hallöchen!
Hab hier ein Problem, was das Integrieren angeht.
Ich will aus der eindimensionalen Schrödingergleichung ) gewinnen.
Aus
}{d x^2}+E_{pot}*\psi(x;t)=ih_{quer}\frac{d\psi(x;t)}{dt})
hab ich mit
=\psi(x)*f(t)) ,
}*\frac{d^2\psi(x)}{d x^2}+E_{pot}=ih_{quer}*\frac{1}{f(t)}*\frac{df(t)}{dt})
gewonnen.
Und dann meinte mein Lehrer, dass daraus }{f(t)})
folgt, woraus wir später }{f(t)})
folgerten.
Daraus folgt ja:
=A*e^{\frac{-i*E}{h_{quer}}*t})
Und daraus |^2=A^2)
und |^2=A^2*\psi^2(x))
Mein Lehrer meint es steht überall nichts von  ,
sondern nur|^2=\psi^2(x)) .
Aber wie verschwindet das denn nun? Gibts da einen physikalischen Hintergrund, oder habe/hat ich/er etwas falsch gemacht?
thx, speedy  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 06. März 2007 17:48 Titel: |
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Ich glaube, des Rätsels Lösung heißt hier "Normierung".
Man normiert die Wellenfunktionen so, dass das Integral über den gesamten Raum über das Betragsquadrat der Wellenfunktion gleich eins ist, das ist nämlich die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo anzutreffen, das man da beschreibt.
Diese Normierung liefert dir also eine zusätzliche Bedingung für die Bestimmung deiner Wellenfunktion, und ich vermute, dass dir diese Bedingung in deinem Fall A=1 liefern dürfte, wenn du das mal durchrechnest.
// edit: T-Tauri hat genauer hingesehen als ich, das Problem lag in der Tat an mehr als nur der Normierung  Danke, T-Tauri
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 06. März 2007 21:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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T-Tauri
Anmeldungsdatum: 01.03.2007
Beiträge: 41
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| T-Tauri Verfasst am: 06. März 2007 19:45 Titel: |
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Da stimmt was nicht. Die Lösung der DGL die die Zeit beschreibt, ist einfach nur
 = exp\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right))
weil man die Konstante C in die Wellenfunktion steckt, diese dann bestimmt und normiert. Für ein spezifisches Problem löst man die zeitunabhängige Schrödingergleichung und bekommt damit die Lösung zur Zeit t=0
 = \psi(x,0))
Dann kommt die Normierung:
Wenn die Wellenfunktion ) eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ist, dann ist auch ) eine Lösung. Man muss jetzt diejenigen Lösungen herausnehmen, die nicht nur mathematisch Lösungen sind, sondern auch die Physik beschreiben. Da das Betragsquadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit angibt, muss für eine Lösung, die physikalisch Sinn machen soll, das Integral über den ganzen Raum = 1 sein - also eben 100%. Das heißt
|^2 dx = 1)
wobei
|^2 = \psi^*\psi)
die Wahrscheinlichkeitsdichte und
die komplex konjugierte Wellenfunktion ist. Man rechnet das Integral aus und bestimmt damit C so, dass 1 herauskommt. Dann hat man die Wellenfunktion normiert. Die Lösung für alle Zeiten erhält man dann, in dem man die E-Funktion vom Anfang an die Wellenfunktion anmultipliziert.
 = \psi(x) exp\left(-\frac{iE}{\hbar}t\right)) |
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speedyschmidt
Anmeldungsdatum: 05.01.2006
Beiträge: 48
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| speedyschmidt Verfasst am: 08. März 2007 11:31 Titel: Re: Schrödingergleichung-Integrationskonstante |
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Das sind doch die zu lösenden Differentialgleichungen:
}*\frac{d^2\psi(x)}{d x^2}+E_{pot}=E_{ges})
und
}{f(t)})
Natürlich gewinne ich das  aus der Wellengleichung und natürlich ist auch ) Lösung der DGL, aber dann ist doch auch ) Lösung der anderen Seite, oder nicht?
Inwiefern stecke ich das C denn in die Wellenfunktion? 
Da gefällt mir der "reine" Normierungsgedanke von dem Markus irgendwie besser!
Wo also liegt mein Denkfehler?
Danke,
speedy |
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T-Tauri
Anmeldungsdatum: 01.03.2007
Beiträge: 41
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| T-Tauri Verfasst am: 08. März 2007 15:19 Titel: |
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Was ich meinte war, dass du die beiden Konstanten umdefinierst zu
A := C * D
und dann schreibst
 f(t))
wobei A in psi drinsteht. Dann ist f(t) die Konstante nämlich los und du musst psi nur noch normieren, um A zu bestimmen. |
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