Bifurkationen

Hochseeangler · Gast

Meine Frage:
Hallo,
die Diskussion wurde ja neulich leider gesperrt. Ich hatte in dem Thema noch eine Frage zu meinem Verständnis von Bifurkationen gestellt und wollte wissen, ob es so in Ordnung ist:

Meine Ideen:
"Zumal: Bifurkationen weißen ja nicht auf, daß der Funktionswert zwei beliebige "Wege" einschlagen kann, welche rein vom Zufall abhängen, sondern, dass es innerhalb der Funktion zu verschiedenen Häufungspunkten kommen, welche sensibel von den Parametern abhängen, was letztlich auch wieder determiniert ist. Oder sehe ich das falsch?"

"Außerdem ist mir nicht bekannt, dass es bei solchen Systemen bei exakt gleichen Anfangsbedingungem zwei mögliche Wege gibt. Auch bei Bifurkationen bleiben die Gleichungen doch determiniert. Oder weiß hier jemand etwas anderes? Und inwiefern wird die Zeitsymmetrie gebrochen?"

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Betrachten wir das klassische Pendel, so gibt es genau eine Bifurkation zwischen dem Regime des Pendelns und dem Regime der Rotation.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics)#Arbitrary-amplitude_period
https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space#Phase_portrait

Etwas komplizierter sehen die folgenden Beispiele aus:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system
https://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6ssler_attractor

Bei der Bifurkationen handelt sich also nicht um ein Phänomen für die Lösung einer Bewegungsgleichung sondern um die (topologische) Charakterisierung von Klassen von Lösungen. Jede Lösung für sich ist immer glatt und eindeutig determiniert.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

Damit verwandt ist das (exponentielle) Auseinanderlaufen zweier zunächst infinitesimal benachbarter Lösungen. Zwei benachbarte Lösungen können sich sehr schnell voneinander entfernen, müssen aber nicht, je nach dem zu welcher Klasse bzw. zu welchem Regime sie gehören. Wiederum ist jede Lösung für sich immer glatt und eindeutig determiniert.

All das kann man zunächst mal anhand des Pendels diskutieren.

Hochseeangler · Gast

Danke für den Input. Ich hatte mir das Beispiel des Feigenbaum Diagramms angesehen (logistische Funktion).

Dort sieht man ja sehr eindeutig, dass xn je nach Parameter r unterschiedlich viele Häufungspunkte erhält.

Somit gibt es für jedes r einen determinierten Funktionswert xn, der allerdings so sensibel auf die Anfangsbedingungen reagiert, dass er zwischen verschiedenen Häufungspunkten variiert. Oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Ich habe dieses Beispiel gerade nicht angeführt, weil es zwar deterministisch ist, aber nichts mit einer Bewegungsgleichung = Differentialgleichung für eine (genügend glatte) Funktion in der Physik zu tun

Hochseeangler · Gast

Okay, schade. Gibt es dein Beispiel zum Pendel auch noch in deutscher Sprache? Das fällt mir dann vermutlich deutlich leichter.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Wir gehen aus von der Bewegungsgleichung

Für sehr kleine Schwingungen kann man den Sinus durch eine lineare Näherung darstellen

und erhält die Gleichung eines harmonischen Oszillator; für diesen liegt bei beliebigen Anfangsbedingungen, d.h. beliebiger Auslenkung und beliebiger Geschwindigkeit immer eine Oszillation vor; dies entspricht einem Umkehrpunkt der Bewegung im Potenzial bei einer maximalen Auslenkung.

Diese Näherung wird jedoch für große Geschwindigkeiten falsch, es geht eine zweite Klasse von Lösungen verloren, nämlich die Rotation; betrachtet man Anfangsbedingungen mit nicht verschwindender Geschwindigkeit im obersten Punkt, so existiert kein Umkehrpunkt und somit keine Oszillation, sondern immer eine Rotation mit variabler Winkelgeschwindigkeit.

Die obige Einschränkung auf genügend kleine Auslenkungen entspricht der Anfangsbedingung einer verschwinden Anfangsgeschwindigkeit.

Auch für den zweiten Fall kann man eine Näherung betrachten, nämlich eine sehr große Anfangsgeschwindigkeit; betrachtet man diese als konstant so liegt reine Rotation vor.

Im ersten Fall ist der Auslenkungswinkel selbst eine periodische Funktion der Zeit, im zweiten Fall eine lineare Funktion plus eine periodischen Funktion der Zeit.

Die beiden Klassen sind charakterisiert durch den höchsten Punkt und die dort vorliegende Geschwindigkeit.
Oszillation: höchster Punkt nicht senkrecht über der Aufhängung, Geschwindigkeit dort Null,
Rotation: höchster Punkt senkrecht über der Aufhängung, Geschwindigkeit dort nicht Null.

Der Bifurkationspunkt ist liegt gerade im labilen Gleichgewicht: höchster Punkt = Punkt senkrecht über der Aufhängung, Geschwindigkeit dort Null.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Ich hab das mal für verschiedene Anfangsbedingungen

geplottet.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Hier nochmal der Vergleich zwischen dem linearisierten (grau) und dem realen Pendel (hellblau). Man sieht schön , dass die Näherung für genügend kleine Schwingungen gut passt. Für große Werte spürt das Pendel eine mit wachsender Auslenkung zunehmend geringere Rückstellkraft, daher werden die Ausrenkungen größer als im linearisierten Fall. Außerdem sieht man, dass die Frequenz nur für den linearisierten Fall unabhängig von der maximalen Auslenkung ist.

Hochseeangler · Gast

Wow, wirklich vielen Dank für die Mühe, die du dir gemacht hast! Klasse.
Soweit war das alles verständlich, vielleicht habe ich später nochmal die eine oder andere kleine Rückfrage.
Ach ja, inwieweit sollen nun Bifurkationen die Zeitsymmetrie brechen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Kein Thema, das sind gerade mal 50 Zeilen Code.

Bezüglich deiner Frage: diese ist irgendwie sinnlos, insofern jede Trajektorie (im Phasenraum) einer eindeutigen und invertierbaren Abbildung entspricht. D.h. für jeden Punkt auf der Trajektorie weiß man eindeutig, wo er herkommt und wo er sich hin entwickelt.

Betrachtet man zum Zeitpunkt t = 0 einen Bereich (im Phasenraum), in der Anfangsbedingungen dicht liegen, so bleibt dieser Bereich unter Zeitentwicklung für jedes t > 0 dicht. Salopp gesprochen entstehen keine Löcher.

Hat man eine derartige Umgebung für ein beliebiges t = T, so kann man sie aufgrund der Invertierbarkeit mathematisch auch wieder zu t < T zurückentwickeln.

Das kann ich mir als nächstes ansehen.

(Überhaupt sollte ich das mal im Phasenraum darstellen, damit das Konzept klarer wird)

Hochseeangler · Gast

Alles klar, super.

Was ich mich tatsächlich gerade wirklich frage: wie kann man, wenn alles determiniert ist, überhaupt die Zeitsymmetrie brechen?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Zurück zum Pendel.

Anbei die relevanten Kurven, jetzt vom Phasenraum. Die unvollständige Ellipse entspricht der Oszillation, die darf man sich unendlich fortgesetzt denken. Die Wellenlinie entspricht der Rotation, wobei der Winkel belieb weit wegläuft. In der Umgebung des Bifurkationspunktes sieht man schön wie beides übereinanderlegt.

Die farbigen Päckchen entsprechen immer einigen hundert Punkten, man sieht, wie sie auseinanderlaufen. Die grüne Linie ist ein Artefakt, sie besteht auch aus unterschiedlichen Päckchen; grün wurde nur als letztes gezeichnet.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Jetzt noch der Zoom: Man erkennt wieder das Auseinanderlaufen der Farbpäckchen; hier besteht ein Päckchen zunächst aus 1000 Punkten.

Packt man immer mehr Punkte in ein Päckchen, so erkennt man, dass der Phasenraum dicht ausgefüllt wird. Weiter hineinzoomen kann ich aber nicht, dazu muss ich noch was an der Numerik machen (ich löse aktuell die DGL zweiter Ordnung; besser wäre es, die erster Ordnung zu verwenden, aber dazu muss ich umbauen, da man eine Fallunterscheidung einführen muss.

Der wirklich interessante Punkt, dass das Pendel exakt am obersten Punkt zur Ruhe kommt, wird erst nach unendlicher Zeit erreicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

Hochseeangler · Gast

Nochmal kurz zur Zeitsymmetrie der klassischen Physik: hängt dies nicht auch damit zusammen, ob t in den entsprechenden Gleichungen womöglich potenziert wird? Bei gerade Exponenten sollte die Symmetrie womöglich doch nicht gegeben sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Nein, damit hat das gar nichts zu tun. Letztlich kann man die Bewegungsgleichungen für Orte x und kanonisch konjugierte Impulse p eines beliebigen Systems mit Hamiltonian H(x,p) schreiben als

x und p können n-dimensionale Koordinaten sein. Die Gleichungen sind im Allgemeinen komplizierter, man kann jedoch immer kanonisch konjugierte Koordinaten finden, in denen sie sich auf diese Form bringen lassen.

Der Hamiltonian entspricht zunächst der Energiefunktion. Die zentrale Eigenschaft hier ist jedoch, dass er die Bewegungsgleichungen generiert.

Ausgehend von einer beliebigen Anfangsbedingung (Index 0) erlaubt dies eine Taylorentwicklung; bis zur ersten Ordnung:

dt kann positiv oder negativ sein, d.h. man kann das System vorwärts oder rückwärts in der Zeit entwickeln. Eine Trajektorie x(t) im Ortsraum wird rückwärts durchlaufen, wenn man an einem auf ihr liegenden Punkt die Anfangsbedingung geeignet wechselt:

Im Phasenraum ist das natürlich eine andere Trajektorie.

Das gilt für beliebige Hamiltonsche Systeme *.

Konkret für das Pendel verwende ich statt x und p den Winkel phi sowie den kanonisch konjugierten Impuls

(dessen Herleitung ich hier nicht gezeigt habe)

Der Hamiltonian und die Bewegungsgleichungen lauten

Im Phasenraum existieren zwei besondere Punkte, nämlich das stabile

und das labile Gleichgewicht

Letzteres ist gerade entspricht gerade dem Bifurkationspunkt, man erkennt jedoch, dass die Gleichungen sich auch an diesem Punkt sich völlig regulär verhalten.

* Nun habe ich oben geschrieben, dies gälte für beliebige Hamiltonsche Systeme. D.h. umgekehrt, Systeme, für die die Zeitumkehrinvarianz nicht gilt, entsprechen nicht der Definition Hamiltonscher Systeme. Ein klassisches Beispiel sind dissipative Systeme mit Reibung, für die die Energieerhaltung verletzt ist, d.h., für die kein zeitunabhängiger Hamiltonian existiert, der die entsprechenden Bewegungsgleichungen generiert. Für ein gedämpftes Pendel existiert natürlich keine Zeit-gespiegelte Bewegung, bei der die Geschwindigkeit zunimmt.

Tatsache ist jedoch, dass die fundamentalen Gleichungen immer Zeit-symmetrisch sind, und dass lediglich die Gleichungen für effektive Systeme diese Symmetrie verletzen. Die mikroskopischen Gleichungen für eine Flüssigkeit im Rahmen der Quantenmechanik (Quantenfeldtheorie) sind Zeit-symmetrisch, die daraus abgeleiteten effektiven Strömungsgleichungen mit Reibungstermen verletzen diese Symmetrie.

Eine beobachtete Verletzung. Dieser Symmetrie ist also immer die Konsequenz aus speziellen Anfangsbedingungen oder einer derartigen (natürlichen vernünftigen) Näherung – kein fundamentaler Effekt (abgesehen von der elektroschwach Wechselwirkung).

Hochseeangler · Gast

Okay, aber gerade noch mal unabhängig von den Bifurkationen:

Wenn ich ein reibungsbehaftetes System beschreibe, habe ich ja kein hamiltonsches System mehr. Somit wäre doch ein reibungsbehaftetes System nicht zeitsymmetrisch, oder habe ich gerade einen Denkfehler?
Also zb bei einer Schwingungsdifferentialgleichung sollte doch die Lösung nicht invariant sein.
Das wäre doch dann ein Beispiel für die newtosche Mechanik, indem die Zeitsymmetrie nicht gilt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Siehe meine Ergänzungen zu dem letzten Beitrag; das hat sich zeitlich überschnitten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Das folgende ist jetzt mathematisch etwas kompliziertere aber ich hoffe, die Idee kommt rüber.

Ich fasse die Koordinaten x,p auf dem Phasenraum zusammen zu

Dann bezeichne ich die Zeitableitung von X als Geschwindigkeit

Denken wir uns die Trajektorien im Phasenraum dicht, dann entspricht U der Geschwindigkeit einer "Flüssigkeitsströmung im Phasenraum". Die Divergenz dieser Geschwindigkeit ist Null, denn

da das Skalarprodukt der beiden Vektoren verschwindet.

Hamiltonsche Systeme zeichnen sich also dadurch aus, dass man sie als eine Art Strömung oder Fluss im Phasenraum auffassen kann, wobei die "Flüssigkeit" nirgends verschwindet; es gibt keine Quellen oder Senken (das gilt ähnlich in der Strömungsmechanik oder für die elektrische Ladung.- und Stromdichte).

Betrachtet man einen beliebigen begrenzten Bereich B und dessen Volumen V im Phasenraum, z.B. einen Bereich, innerhalb dessen Anfangsbedingungen liegen, so kann man zeigen, dass das bisher gesagte äquivalent dazu ist, dass die Zeitentwicklung zwar B verschieben und deformieren, dessen Volumen V jedoch nicht ändert kann; es gilt

Zum Pendel bzw. zum harmonischen Oszillator: Für diesen haben wir die Bewegungsgleichungen

Mit

Damit folgt sofort das Verschwinden der Divergenz von U.

Beim gedämpften harmonischen Oszillator haben wir eine Zusatzterm, d.h.

Damit ist

Der Zusatzterm zerstört die Divergenzfreiheit, denn

Damit folgt, dass das Volumen V eines Bereiches B mit der Zeit schrumpft.

Betrachten wir der Einfachheit halber den harmonischen Oszillator mit omega = 1 und eine Kreisscheibe um den Ursprung, innerhalb derer eine Schar von Anfangsbedingungen liegen sollen. Die Zeit Entwicklung liefert für jeden Punkt einfach nur einen Kreis um den Ursprung, d.h. es ist offensichtlich klar, dass sich diese Kreisscheibe unter Zeit Entwicklung nicht ändert. Das entspricht letztlich der Energieerhaltung.

Für den gedämpften, harmonischen Oszillator verringern sich Amplitude und Geschwindigkeit mit der Zeit, d.h. die Trajektorien im Phasenraum sind letztlich schrumpfende Spiralen um den Ursprung. Die Kreisscheibe kontrahiert unter Zeitentwicklung, ihr Flächeninhalt nimmt ab.

Die Energie lautet

Das ist letztlich der Flächeninhalt einer Ellipse.

Deren Zeitentwicklung lautet

Setzt man die Bewegungsleichungen ein, so folgt

Das dissipative Verhalten, also die nicht-Erhaltung der Energie aufgrund der Reibung, entspricht dem Verlust an Phasenraumvolumen; der hier gefundenen Zusammenhang ist aber ein Spezialfall.

Formuliert man das allgemein und präzise, folgt daraus die Konsequenz, dass kein zeitunabhängiges H existieren kann, das diesen Fluss U erzeugt, dass also die Zeitableitungen von x und p nicht im o.g. Sinne aus einem derartigen H gewonnen werden können.

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonian)

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Im wesentlichen geht man wie folgt vor:

Man betrachtet ein Vielteilchensystem (Moleküle, sogenannte schnelle Freiheitsgrade) sowie einen makroskopischen Körper (Kugel, langsame Freiheitsgrade). Das ist für sich betrachtet ein konservatives System mit Hamiltonscher Dynamik und Zeitumkehrinvarianz, Erhaltung von Energie und Phasenraumvolumen.

Dann integriert man die schnellen Freiheitsgrade aus. Das liefert eine sogenannte effektive Theorie für die verbleibenden langsamen Freiheitsgrade. Diese effektive Theorie ist dissipativ, nicht mehr zeitumkehrinvariant, Energie und Phasenraumvolumen sind nicht mehr erhalten. Der Energieverlust an die schnellen Freiheitsgrade wird nicht berücksichtigt, die langsamen Freiheitsgrade alleine stellen ein offenes System dar.

Ich suche mal nach einer online-Referenz.

Hochseeangler · Gast

Danke für euren Input.
Ich hatte jetzt ein einfaches Feder-Masse-Dämpfer System im Kopf, mit dem sich eine Sdgl der folgenden Form ergibt:

m *d²x/dt² + k*dx/dt +c*x=0

Die sollte ja wie schon geschrieben nicht zeitsymmetrisch sein.

Da der Satz von Liouville ja die Hamiltonsche Mechanik betrifft, frage ich mich, was gilt nun fundamental, wenn in der Quantenmechanik tatsächlich bei der elektroschwachen Wechselwirkung ein Symmetriebruch beobachtet wird. Kann man das aktuell überhaupt sinnvoll sagen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Hochseeangler · Gast

Ok. Ist der Satz von Liouville eigentlich nur für die statistische Mechanik relevant, oder auch für andere Bereiche der Physik (Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie usw)? Wie essentiell ist er für die Physik?

Und wenn die Zeitsymmetrie in der Qft gebrochen wird: dann kann man doch eigentlich schwer behaupten, dass die Physik per se zeitsymmetrisch sei, oder sehe ich das falsch? Dafür müsste man quasi herausfinden, dass die Symmetriebrechung wiederum auf Vorgängen basieren, die ebenfalls symmetrisch sind.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443