Komplexitaet eines Quantenzustandes

pinselohr · Gast

Meine Frage:
Ein Quantenzustand eines Molekuels mit n Atomkernen K und m Elektronen E ist, als komplexwertige Wellenfunktion Psi(K1,K2,...Kn, E1,E2, ... Em) mit enormen Aufwand, hinschreibbar. Mit Kx als dreidimensionalen Kernkoordinaten, und Ex als dreidimensionalen Elektronenkoordinaten. Diese muss der Schroedingergleichung oder schlimmer, gehorchen. Um einen stationaeren Bindungszustand beispielsweise, darzustellen. Um sie in einem Computer berechnen zu koennen, muss genau diese hochdimensionale Wellenfunktion als hinreichend kleiner Datensatz noch in den Arbeitsspeicher, hinein passen. Um eine Stelle, also einen Konstellationsvektor herum aendert sich die Wellenfunktion jedoch nicht abrupt, sondern stetig. Also haengt die Datengroesse von der Komplexitaet von Psi ab. Wenn das nur wenige Maxima sind, dann kann man fuer diese Maxima-Konstellation, eine additive Stueckelfunktion nehmen. Die um dieses Maximum herum, Psi noch sehr gut nahe kommt. Aber etwas von diesem Maximum weg, schnell genug gegen Null abfaellt. Psi ist dann ungefaehr die Summe dieser lokal begrenzten additiven Stueckelfunktionen. Man kann die Elektronenkonstellationen, fuer eine wahrscheinliche Kernkonstellation, untersuchen. Bei hinreichend geringer Komplexitaet von Psi waere das noch machbar. Psi ungefaehr abzubilden. Aus lauter kleinen Stuecken um einzelne Konstellationen hoher Wahrscheinlichkeit. Und genau da liegt meine Frage. Wie viele Maxima, wie viele Features Psi bei einfachen Molekuelen noch hat. Im Sinne einer hoeherdimensionalen Kurvendiskussion, einer hoeherdimensionalen Gestalt.

Meine Ideen:
Die wahre Komplexitaet eines Quantenzustandes.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 498

Die Wellenfunktion muss nach den Axiomen der QM nicht stetig sein sondern lediglich quadratintegrabel.

Ansonsten ist deine Frage auch nicht wirklich klar gestellt. Kannst du deine Frage in präzise definierten mathematischen Begriffen formulieren?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Die Wellenfunktion sollte schon stetig oder sogar stetig differenzierbar sein, zumindest fordert man dies häufig für ein sinnvolles Verhalten des Impuls- und des Hamiltonoperators.

Aber ja, die Axiome fordern das nicht.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 498

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 498

Hamilton/Impuls-operator sind hald auf ihrer jeweiligen Domain definiert die zumindest schwache differenzierbarkeit fordert.

Wenn du aber Messwahrscheinlichkeiten berechnen willst kannst du das mit Spektralmaßen auf völlig beliebigen Zuständen machen, da die Spektralmaße beschränkte Operatoren sind.

Jakito · Anmeldungsdatum: 30.05.2024 Beiträge: 162

Der Quantenzustand eines Molekuels wird gar nicht so sehr als hochdimensionale Funktion im Ortsraum benötigt, sondern vor allem als "etwas", mit dem sich relevante "Überlappintegrale" auswerten lassen. Deshalb wird der Quantenzustand im Computer vor allem als Linearkombination geeigneter Basisfunktionen dargestellt, statt als "additive Stueckelfunktion". Seine Komplexität entsteht hauptsächlich durch die Hochdimensionalität, weniger durch komplizierte Minima und Maxima. Ausserdem braucht man meist ohnehin nur den Grundzustand und die ersten angeregten Zustände, und diese sind noch sehr glatt/niederfrequent.

Eine sehr brauchbare Einführung in diese Thematik für mich war:
Michael Springborg. Quantenchemie: Eine Einführung

Danach hatte ich noch zwei weitere ähnliche Bücher (teilweise) gelesen, eines ähnlich dick (was in Bezug auf die Rolle der Symmetrien detailierter war), und das andere sehr dick (was vielleicht noch tiefer in die Details der Darstellung des Quantenzustands, DFT Methoden, und "Beyond Hartree-Fock Methoden" eintauchte), aber ich erinnere mich nicht mehr an deren genaue Namen oder Autoren, oder ob sie viele "schlechte" Kapitel oder Passagen hatten.

Jakito · Anmeldungsdatum: 30.05.2024 Beiträge: 162