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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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 monstaa Verfasst am: 21. Nov 2006 20:06 Titel: Halbgruppeneigenschaft Wärmeleitungskern |
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Hallo alle miteinander,
Also ich soll folgende eigenschaft des Wärmeleitungskerns zeigen:
K(y,z,t_2)=K(x,z,t_1+t_2)) .
ok, der kern ist ja die Greensche Funktion welche bei der wärmeleitung durch
=\frac{1}{\sqrt{2*\alpha*t}}*exp(-\frac{x^2}{4 \alpha t})) gegeben ist. wie kann ich da erstmal überhaupt sowohl x als auch z zusammen ausdrücken? schreibe ich dann einfach ^2) )
mfg christian
Zuletzt bearbeitet von monstaa am 22. Nov 2006 19:48, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 01:02 Titel: |
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Weißt du schon, was dieser Wärmeleitungskern bedeutet? Ist das so eine Art Gauß-Förmige Wärmeenergieverteilung um eine bestimmte Stelle zu einer bestimmten Zeit? Wenn ja, um welche Stelle? Oder ist das etwas anderes? Wenn ja, wie würdest du es in deinen Worten beschreiben?
Hilft dir vielleicht folgende, ein bisschen ausführlichere Formulierung deiner Aufgabe ein bisschen weiter?
http://www.chaos.gwdg.de/~michael/teaching/Uebung05_d.pdf
(unten die Aufgabe 5.3)
Wie du zum Beispiel auf
http://www.mathphysics.com/pde/ch20wr.html#heatker
in Gleichung XX.3 siehst, definiert man:
= \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\cdot \exp\left( -{\frac{(x-y)^2}{4t}}\right)) |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 22. Nov 2006 09:34 Titel: |
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krass, das ist die Aufgabe!
mathematisch ist der kern doch einfach nur die Greensche Funktion, die mir z. B. beim Cauchy Problem( alle Temp zur Zeit t=0 bekannt) eine Lösung im Fourierraum mittels normaler Multiplikation (*) liefert. Diese faltung kann man dann mit=\int G(t-t')T(x,t')dt' ) zu einer lösung im originalbereich zurücktransformieren. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 11:33 Titel: |
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Ich vermute, das ist zwar richtig, aber mir kommt diese Erklärung ein bisschen formal und mathematisch vor.
Findest du auch eine noch physikalischere Erklärung, die sagt, was der Ausgangszustand zum Zeitpunkt t=0 an einer bestimmten Stelle ist, (ob die Temperatur oder die Wärmemenge an dieser Stelle konstant bleibt?) und ob die formale Beschreibung etwas damit zu tun hat, dass Wärme in einer bestimmten Zeit vom einen Ort zum anderen wandert? |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 22. Nov 2006 16:56 Titel: |
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er die tatsache das die faltung dafür sorgt,dass die temperatur zum zeitpunkt t zurückzuführen ist auf die temp zum zeitpunkt t'. die greensche funktion beschreibt quasi die f"Störung" der temperatur die sich (in der zeit) fortpflanzt und so das temperaturgefälle bestimmt. der ) Term glättet praktisch die temperatur aus...(denk ich zumindest)
aber zurück zur aufgabe:
laut definition gilt ja:
=\frac{1}{(4t)^\frac{3}{2}}*exp(\frac{(\vec{x}-\vec{y})^2}{4t}))
werd mal versuchen die multiplikation von zwei heat kernels durchzuführen |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 22. Nov 2006 20:00 Titel: |
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ok, hab mich erst mal um den e^ term gekümmert:
^2}{4t_1}*exp(-\frac{(\vec{y}-\vec{z})^2}{4t_2})
=^2-(x_2-y_2)^2-(x_3-y_3)^2)+t_1(-(y_1-z_1)^2-(y_2-z_2)^2-(y_3-z_3)^2)}{4t_1t_2}))
sehe hier nicht , wie ich das vereinfachen soll, vielleicht die bin formel auflösen? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 20:51 Titel: |
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Ich glaube, das reicht voll und ganz, das Problem als linear anzunehmen und x, y und z nicht als Vektoren zu betrachten. |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 22. Nov 2006 21:37 Titel: |
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hatte ich auch gedacht, bis mir auffiel das das Differential  lautet. also Ableitungen nach  desswegen die vektoren. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 21:55 Titel: |
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Du hast recht, am Ende sollte das wohl auch mit Vektoren gehen. Ich würde aber vorschlagen, solange du noch einen Weg zum Umformen suchst, rechne erstmal den einfacheren 1D-Fall 
Tipp: Ich habe das Gefühl, dass du da beim Umformen irgendwie eine Integraldarstellung der Delta-Funktion verwenden können wirst. |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 22. Nov 2006 22:03 Titel: |
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Deltafunktion braucht man nicht!
Noch ein Tip! Es gilt:
^2}{t_1}\,+\,\frac{(z-y)^2}{t_2}\;=\;\frac{x^2}{t_1}\,+\,\frac{z^2}{t_2}\,-\,\frac{(\frac{x}{t_1}+\frac{z}{t_2})^2}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}}\,+\,(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})(y-\frac{\frac{x}{t_1}+\frac{z}{t_2}}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}})^2)
und hier kann die rechte Seite zu
^2}{t_1+t_2}\,+\,(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})(y-\frac{\frac{x}{t_1}+\frac{z}{t_2}}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}})^2)
umgeformt werden.
Durch übersichtliches hinschreiben und die alt bewährte quadratische
Ergänzung kommst Du also ganz nah dran an das gewünschte Ergebnis.
Jetzt mußt Du nur noch y über den ganzen Raum integrieren und fertig ist
die Laube 
Gruß von Bruce
Zuletzt bearbeitet von Bruce am 23. Nov 2006 22:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 22. Nov 2006 22:47 Titel: |
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ok, gibt es einen speziellen grund wieso du das so kompliziert hinschreibst?
und wo soll ich da ergänzen?
irgendwie muss ja
^2}{t_1+t_2}) nach der Integration da stehen |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Nov 2006 22:53 Titel: |
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Ich glaube, so was nennt man nicht "kompliziert"
Versuch mal, das in deiner Umformung zu verwenden, und rechne mal das Integral am Ende aus. Dann wirst du feststellen, dass man sowas vielmehr als elegantes und geschicktes Umformen bezeichnen würde, weil ich glaube, dass es sehr zielstrebig zu dem Ergebnis führt, das du brauchst |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 22. Nov 2006 22:58 Titel: |
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erst mal würd ich gern verstehen wie man von der ersten zeile zur zweiten kommt. außerdem : wie soll ich da ergänzen? bei der Integration über y( jetzt eingentlich über d^3y??? oder was?) kommt doch der ganze Kramder vor y steht dann mit 1/-- runter. |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 23. Nov 2006 18:29 Titel: |
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ok, hab die umformungsschritte nachvollzogen. wenn man die ganzen (von y) unabhängigen konstanten außer acht lässt , isses nach 10 zeilen umgeschreibsel geschafft..
ok, der mathematische teil ist geschafft. nun der physiklische: warum muss diese identität gelten?
meine idee: nun ja , da wir über alle Störungen die in y auftreten integrieren , muss man diese beiden störungen die zu zeiten t11 und t2 (bei koordianten x,z) auftreten erst später spüren, also zu t1+t2...denk ich, kann mir da aber auch nix genaues vorstellen |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Nov 2006 19:30 Titel: |
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| monstaa hat Folgendes geschrieben: | ok, hab die umformungsschritte nachvollzogen. wenn man die ganzen (von y) unabhängigen konstanten außer acht lässt , isses nach 10 zeilen umgeschreibsel geschafft..
ok, der mathematische teil ist geschafft.
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Schön Gratuliere
Zur physikalischen Überlegung muss man glaube ich vor allem verstehen, was der Wärmeleitungskern aussagt.
Ich vermute bisher ungefähr das folgende:
Der Wärmeleitungskern ) sagt aus, wie die Wärme in der Zeit  von  nach  transportiert wird.
) sagt aus, wie die Wärme in der Zeit  von nach  transportiert wird.
) sagt aus, wie die Wärme in der Zeit  von nach transportiert wird.
Das Integral über über das Produkt der beiden oberen Kerne ist also die Summe über alle Transportwege, also über alle "Zwischenstationen zum Zeitpunkt  " des Wärmetransportes von nach .
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"wie die Wärme transportiert wird" habe ich jetzt bewusst noch etwas schwammig formuliert.
Wenn du dir deine Formeln und Gleichungen genauer anschaust, was wird da genau transportiert?
Sind die Funktionswerte, die man an den verschiedenen Stellen , und hat, Werte der Wärmeenergie, der zeitlichen Änderung der Wärmeenergie, oder der Temperatur an diesen Punkten, ... ?
Was ist die genaue Randbedingung für diese Beschreibung? Kann ich mir dieses Modell so vorstellen, dass (Achtung geraten!) während des gesamten hier beschriebenen Prozesses der Wärmeausbreitung die Temperatur in konstant gehalten wird?
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Schaffst du es damit, die physikalische Beschreibung, die ich hier mal schwammig anformuliert habe, mit dem, was du weißt und herausfinden kannst, konkreter und handfester zu formulieren? (Und magst du diese konkretere Beschreibung hier verraten? , denn das würde mich interessieren ) |
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monstaa
Anmeldungsdatum: 21.11.2006
Beiträge: 15
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| monstaa Verfasst am: 23. Nov 2006 20:35 Titel: |
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Wenn man sich die Ursprungs DGL anguckt dann ist das die Diffusionsgleichung. also nehme ich mal an das der Wärmetransport durch Diffusion kommt |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 25. Nov 2006 21:25 Titel: |
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Mag sein.
Aber was meinst du zu dem Anfang einer physikalischen Beschreibung für den Wärmeleitungskern, den ich oben gemacht habe? Hilft der dir schon beim Verständnis deiner hergeleiteten Beziehung?
Kannst du diese Beschreibung noch konkreter formulieren? |
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