Wärmeleitungsgleichung

ThomasHans · Anmeldungsdatum: 20.11.2006 Beiträge: 2 Wohnort: Ergoldsbach

Hallo,
ich habe folgendes Problem und find keine rechte Lösung:

"Die Oberfläche des Fußbodens wird mit einer Halogenlampe bestrahlt. Gesucht wird eine Abschätzung über die nötige Leistung der Lampe in Abhängigkeit von den Materialparametern des Bodens und der Aufheizzeit"

Ein möglicher Lösungsansatz ist wahrscheinlich die Wärmeleitungsgleichung. Leider find ich keine passenden Randwerte...

Bitte dringend um Hilfe...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da meine ich zum einen, dass du die Aufgabe noch nicht ganz vollständig wiedergegeben hast: Steht da zum Beispiel noch irgendeine Information dabei, der man ungefähr entnehmen könnte, von welcher Temperatur auf welche Temperatur die Oberfläche des Bodens erwärmt werden soll?

Und zum anderen geht es in dieser Aufgabe sicher darum, die wesentlichen Parameter zu identifizieren, die du hier brauchst, und für ihre Werte sinnvolle Abschätzungen zu machen. Welche Größen hast du denn schon gefunden, die hier deiner Meinung nach eine Rolle spielen?

ThomasHans · Anmeldungsdatum: 20.11.2006 Beiträge: 2 Wohnort: Ergoldsbach

Da es sich nicht um eine gegebene Aufgabe handelt, sondern eher um ein Praxisproblem der Sensortechnik ist es natürlich kein Problem andere Parameter in die Abschätzung miteinzubeziehen. Meiner Meinung nach sollten folgende Parameter reichen:
Wärmeleitfähigkeit, spez. Wärmekapazität, Absorbtion (Emission), Reflektion, Transmission und Anfangstemperatur des Materials, sowie die eingestrahlte Leistung der Strahlungsquelle und die Temperatur der Umgebungsluft. Normalerweise kann davon ausgegangen werden, dass die Luft steht. Eventuell ein kleiner Korrekturfaktor für die Konvektion. Die Temperatur des Materials sollte ungefähr um 10 - 15 Grad bezüglich Raumtemperatur angehoben werden. Also würde ich sagen, dass man die Temperaturabhängigkeit der spez. Wärmekapazität und ähnliche Effekte vernachlässigen könnte. Prinzipiell wär ich aber schon glücklich, wenn ich eine Möglichkeit hätte die Ausbreitung des Wärmefeldes im Material mit Hilfe der Wärmeleitungsgleichung zu beschreiben (bei kreisfömiger Oberflächenbestrahlung).

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich finde, diese Sammlung wesentlicher Parameter klingt schon ziemlich gut. Ich würde vorschlagen, das in etwas so anzugehen:

Um die Leistungszufuhr durch die Lampe abzuschätzen, braucht man wohl

1) die elektrische Leistung der Lampe (also Betreibsstrom und Betriebsspannung)),

2) den Wirkungsgrad für die Wärmeübertragung durch Wärmestrahlung von Lampe auf den Fußboden, also die Information,

a) wie viel Prozent der Lampenleistung in Strahlungsleistung umgewandelt wird,

b) welcher Teil dieser Strahlungsleistung auf dem Lichtfleck am Fußboden ankommt (denn vielleicht fängt der Lampenschirm oder eine Blende Licht weg, oder es geht unter Umständen Licht aus der Lampe auch woanders hin als auf den Fußboden?). Das kann man entweder ausrechnen als "Leistung, die auf dem gesamten Lichtfleck am Fußboden ankommt", oder vielleicht noch konkreter als Leistung pro Flächenelement berechnen.

c) und schließlich, welcher Teil der Strahlungsleistung vom Fußboden absorbiert wird. Dieser Faktor nennt sich Emissionsgrad (kann Werte zwischen 1 und 0 annehmen) und hängt von der Farbe und der Beschaffenheit der Oberfläche ab. Schwarze, rauhe Oberflächen haben einen hohen Emissionsgrad, weiße, glatte Oberflächen oder gar spiegelnde Oberflächen haben einen kleinen Emissionsgrad.

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Was mit dieser aufgenommenen Strahlungsleistung dann im Fußboden passiert, kommt nun sicher auf die Eigenschaften des Fußbodens an. Ich würde da zwei Modelle für gut vorstellbar halten:

3 a) Die Oberfläche des Fußbodens besteht aus einer dünnen Schicht, die relativ gut gegen den Rest des Fußbodens isoliert ist. Diese Schicht nehme also viel schneller Wärme durch Wärmestrahlung auf, als sie Wärme an tiefer liegende Schichten des Fußbodens abgibt. (Wärmeabgabe von dieser Schicht durch Wärmestrahlung an die Umgebung, durch Wärmeleitung oder Wärmeleitung plus Konvektion an die Umgebungsluft schätze ich als noch kleiner und damit vernachlässigbar ein).

In diesem ersten, einfachen Modell braucht man dann nur noch die Masse der Schicht (also Dichte des Schichtmaterials, Dicke der Schicht und Lichtfleckfläche) und die spezifische Wärmekapazität des Materials dieser Schicht kennen, um abzuschätzen, innerhalb welcher Zeit die gewünschte Temperaturzunahme erfolgt.

Dieses einfache Modell dürfte also eine gute und vergleichsweise schnelle Möglichkeit sein, die maximale Temperaturzunahme und damit die minimal benötigte Erwärmungszeit abzuschätzen.

3 b) Sobald man nicht annehmen kann oder möchte, dass die oberste Schicht des Fußbodens gut isoliert sei, muss man nun in der Tat die Wärmeleitung im Fußboden mit einbeziehen. Wärmeabgabe an die Luft durch Wärmeleitung oder konvektionsunterstützte Wärmeleitung sowie Wärmeabgabe durch Wärmestrahlung würde ich hier zunächst als vergleichsweise klein annehmen und daher mindestens zunächst vernachlässigen.

Ich vermute nun, dass folgende Modellannahme weiterhelfen kann: Betrachtet man die Wärmeleitung im Fußboden in der Mitte des beleuchteten Flecks, dann erfolgt diese Wärmeleitung vor allem senkrecht in den Boden hinein, denn die Stellen neben dieser Fleckmitte werden vom Licht genauso stark aufgeheizt wie die Mitte. Ich würde also die Wärmeleitung in den Fußboden abschätzen als die Wärmeleitung durch einen Stab der Querschnittsfläche A, dem man auf der einen Seite die Wärmeenergie Q pro Zeit t und Fläche A zuführt. Ich würde sagen, dieses Modell ist eine gute Näherung für den Fall, dass die Fläche des Lichtflecks groß ist und die Dicke des Fußbodens bzw. die Wärmeleitfähigkeit dagegen verhältnismäßig klein. So reduziert sich also die Modellierung der Wärmeleitung auf ein eindimensionales Problem.

Als Randbedingung für diese Betrachtung der Wärmeleitung könnte ich mir vorstellen: Man nimmt an, der gesamte Stab, in dem die Wärme geleitet wird, befinde sich zu Beginn auf Zimmertemperatur.

3b1 - Nun sei der Stab entweder unendlich lang, so dass man als Ergebnis der Rechnung erhalten wird, dass die Temperaturzunahme mit der Zeit immer weiter in den Stab vordringen wird

3b2 - oder der Stab sei endlich lang, und auf der anderen Seite werde er von einem Wärmebad auf konstanter Temperatur gehalten, so dass sich für große Zeiten im Gleichgewicht ein exponentiell abfallender Temperaturverlauf zwischen den beiden Enden des Stabes einstellen wird.