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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3405
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 ML Verfasst am: 29. Jul 2023 19:37 Titel: Re: Fraunhofer-Beugung |
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Hallo,
| TryingToUnderstandIt hat Folgendes geschrieben: |
Mein Problem bisher ist, einen Ansatz zu finden, also hoffe ich, dass mir einer von euch weiterhelfen kann  |
Der Ansatz steht ja schon im Dokument.
Deine erste Aufgabe ist, das Doppelintegral aufzustellen, alle Vereinfachungen einzusetzen und die Integrationsgrenzen entsprechend anzupassen (x wird nur über die hellen Bereiche integriert, y von  .
Also:
 = \int\limits_{y=-\infty}^{\infty}\int\limits_{x=-\infty}^{\infty} a(x,y) \cdot \mathrm{e}^{-j (k_x x +k_y y)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y)
Das ) lässt sich durch die Überlagerung zweier Rechteckfunktionen darstellen, die jeweils  breit sind und den Abstand  von  haben.
https://de.wikipedia.org/wiki/Rechteckfunktion
Es gilt also:
 = \int\limits_{y=-\infty}^{\infty}\int\limits_{x=-\infty}^{\infty} \left(\mathrm{rect}\left(\frac{x-x_0}{\Delta x}\right) + \mathrm{rect}\left(\frac{x+x_0}{\Delta x}\right) \right) \cdot \mathrm{e}^{-j (k_x x +k_y y)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y)
Das lässt sich umformen zu:
 = \int\limits_{y=-\infty}^{\infty} \left[~~\int\limits_{x=-\infty}^{\infty} \left(\mathrm{rect}\left(\frac{x-x_0}{\Delta x}\right) + \mathrm{rect}\left(\frac{x+x_0}{\Delta x}\right) \right) \cdot \mathrm{e}^{-j k_x x} \mathrm{d}x ~~\right] \cdot e^{-j k_y y} \mathrm{d}y)
Das innere Integral lässt sich in Korrespondenztabellen für die Fouriertransformation nachschlagen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation#Tabelle_wichtiger_Fourier-Transformations-Paare
Hierzu musst Du die Regel über die Zeitverschiebung (erster Abschnitt, 2. Korrespondenz) mit der Regel über die Transformation der Rechteckfunktion (zweiter Abschnitt, 3. Korrespondenz) kombinieren.
Da das innere Integral nicht von y abhängt, kann dieser Term als Konstante vor das y-Integral gezogen werden:
 = \left[~~\int\limits_{x=-\infty}^{\infty} \left(\mathrm{rect}\left(\frac{x-x_0}{\Delta x}\right) + \mathrm{rect}\left(\frac{x+x_0}{\Delta x}\right) \right) \cdot \mathrm{e}^{-j k_x x} \mathrm{d}x ~~\right] \cdot \int\limits_{y=-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{-j k_y y} \mathrm{d}y)
Übrig bleibt, wenn ich das richtig sehe, die Fouriertransformation der konstanten Funktion 1. Die Integration selbst ist mit "normalen" Mitteln (ohne Distributionen) nicht machbar. Daher schaust Du sie in einer Korrespondenztabelle nach. Es kommt dort eine Delta-Distribution heraus.
Im Endeffekt dürftest Du auf der Linie y=0 die Überlagerung zweier sin(x)/x-Muster haben.
Viele Grüße
Michael
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