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Quantumdot
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 Quantumdot Verfasst am: 06. Mai 2023 17:37 Titel: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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Hallo nach meinem Verständnis gibt es im Standardmodell zwei fundamentale Arten von Materie.
1. Tensormaterie (beschrieben durch Tensorfelder)
2. Spinormaterie (beschreiben durch Spinorfelder)
Ersteres habe ich glaube ich mittlerweile mathematisch verstanden.
Bei zweiterem blicke ich noch nicht durch.
Also ich erklär mal was Spinoren für mich sind.
Im speziellen handelt es sich um Darstellungen der Lorentzgruppe SO(3, 1).
Ich weiß, dass man es noch etwas allgemeiner über Clifford Algebren und Spingruppen fassen kann, aber bleiben wir mal der Einfachheit halber bei SO(3, 1).
Die SO(3,1) ist eine Lie-Gruppe und der Tangentialraum am neutralen Element ist der Raum für die damit assoziierte Lie-Algebra.
Man kann dann die irreduziblen Darstellungen mit den Eigenwerten eines Casimiroperators darstellen.
Im Falle der SO(3, 1) zerfällt die Lie Algebra in zwei Unteralgebren und man klassifiziert die Darstellungen durch Tupel (j1, j2) mit j1, j2 halb oder ganzzahlig. Bspw (1/2, 0) als Darstellung für linkshändigen Weyl Spinoren.
Da es sich um Darstellungen handelt, gibt es jeweils einen Darstellungsraum und die eigentlichen Spinoren leben in diesen Darstellungsräumen.
Diracspinoren sind die direkte Summe aus (1/2, 0) und (0, 1/2).
Soweit mein Verständnis von Spinoren soweit ich mich durch die Literatur gekämpft habe.
Nun kommen wir mal zu Mannigfaltigkeiten. An jedem Punkt der Mannigfaltigkeit kann ich einen Tangentialraum anheften. Bei einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit habe ich n-dimensionale Tangentialräume. Diese Tangentialräume bilden Vektorräume und zusammen bilden diese Vektorräume ein sogenanntes Tangentialbündel. Die Vektorräume bilden die Basis für (r, s)- Tensorräume, worauf ich dann ein (r, s)-Tensorbündel definieren kann. Glatte Schnitte durch dieses Bündel sind nun die (r, s) Tensorfelder.
Meine Frage ist nun wie ich in diesem differentialgeometrischen Formalismus die Spinorfelder unterbringen kann. Soweit ich weiß geht das auf einer nackten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht, sondern ich brauch immer eine Metrik, um die Gruppe definieren zu können in dessen Darstellungsräume dann die Spinoren leben können. In der ART verwendet man ja eine Lorentzmetrik, d.h. in jedem Tangentialraum wird durch die riemannsche Metrik eine Bilinearform mit einer (+, -, -, -)-Signatur induziert.
Heftet man dann die Darstellungsräume zusätzlich zu den Tangentialräumen an die Mannigfaltigkeit an?
Hat die Lorentzmannigfaltigkeit die Eigenschaft, dass die Lorentzgruppe die Isometriegruppe ist? Kann mir das jemand erläutern?
Naiv hab ich gedacht, dass man ähnlich zu den Tensorraumbündel ein Spinorbündel braucht und das Feld dann ein Schnitt durch dieses Bündel ist, aber den Wikipedia Artikel über Spinorbündel versteh ich überhaupt nicht.
Vielen Dank |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 07. Mai 2023 08:35 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: |
Meine Frage ist nun wie ich in diesem differentialgeometrischen Formalismus die Spinorfelder unterbringen kann. Soweit ich weiß geht das auf einer nackten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht, sondern ich brauch immer eine Metrik, um die Gruppe definieren zu können in dessen Darstellungsräume dann die Spinoren leben können. In der ART verwendet man ja eine Lorentzmetrik, d.h. in jedem Tangentialraum wird durch die riemannsche Metrik eine Bilinearform mit einer (+, -, -, -)-Signatur induziert.
Heftet man dann die Darstellungsräume zusätzlich zu den Tangentialräumen an die Mannigfaltigkeit an?
Hat die Lorentzmannigfaltigkeit die Eigenschaft, dass die Lorentzgruppe die Isometriegruppe ist? Kann mir das jemand erläutern?
Naiv hab ich gedacht, dass man ähnlich zu den Tensorraumbündel ein Spinorbündel braucht und das Feld dann ein Schnitt durch dieses Bündel ist, aber den Wikipedia Artikel über Spinorbündel versteh ich überhaupt nicht.
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Ja, im Prinzip funktioniert das schon so. Es ist nützlich zuerst zu verstehen, was ein Hauptfaserbündel P mit Strukturgruppe G über einer Mannigfaltigkeit M, und seine assoziierten Vektorraumbündel sind. Das Tangentialbündel sowie die erwähnten Tensorbündel über der Raumzeit sind Beispiele für assoziierte Vektorraumbündel mit ) . P kann man sich vorstellen als Menge aller Lorentzframes angeheftet an jedem Punkt der Raumzeit M. (Die Gruppenwirkung von G auf P, die das Hauptfaserbündel charakterisiert, ist also in diesem Fall eine Lorentztransformation einer Orthonormalbasis in irgendeinem Ereignis in M.)
Spinorbündel benötigen aber als Strukturgruppe nicht die Lorentzgruppe, sondern deren zweifache Überlagerungsgruppe ) mit einem zugehörigen Bündel P' aus Spinframes, welches P ebenfalls zweifach überlagert. Wenn eine solche Überlagerung von Framebündeln existiert, sagt man, daß M eine Spinstruktur besitzt.
Spinorfelder sind dann tatsächlich Schnitte in den assoziierten ) - Vektorraumbündeln von P' über M.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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Quantumdot
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| Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 12:04 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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Danke für die Antwort
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ja, im Prinzip funktioniert das schon so. Es ist nützlich zuerst zu verstehen, was ein Hauptfaserbündel P mit Strukturgruppe G über einer Mannigfaltigkeit M, und seine assoziierten Vektorraumbündel sind.
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Kannst du dazu eine Quelle empfehlen, da ich hier noch eine Wissenslücke habe?
| Zitat: |
Spinorbündel benötigen aber als Strukturgruppe nicht die Lorentzgruppe, sondern deren zweifache Überlagerungsgruppe mit einem zugehörigen Bündel P' aus Spinframes, welches P ebenfalls zweifach überlagert. Wenn eine solche Überlagerung von Framebündeln existiert, sagt man, daß M eine Spinstruktur besitzt. |
Geht das mit allen Darstellungen der Lorentzgruppe? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 07. Mai 2023 13:32 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ja, im Prinzip funktioniert das schon so. Es ist nützlich zuerst zu verstehen, was ein Hauptfaserbündel P mit Strukturgruppe G über einer Mannigfaltigkeit M, und seine assoziierten Vektorraumbündel sind.
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Kannst du dazu eine Quelle empfehlen, da ich hier noch eine Wissenslücke habe?
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Ein Standardwerk ist Kobayashi, Nomizu, Foundations of Differential Geometry. Etwas mehr Bezug zur theoretischen Physik hat Frankel, The Geometry of Physics. (Beide enthalten aber soweit ich weiß nichts speziell über Spinstrukturen.)
| Zitat: | | Zitat: |
Spinorbündel benötigen aber als Strukturgruppe nicht die Lorentzgruppe, sondern deren zweifache Überlagerungsgruppe mit einem zugehörigen Bündel P' aus Spinframes, welches P ebenfalls zweifach überlagert. Wenn eine solche Überlagerung von Framebündeln existiert, sagt man, daß M eine Spinstruktur besitzt. |
Geht das mit allen Darstellungen der Lorentzgruppe? |
Was genau soll denn gehen? Wenn du meinst ob die Gruppe SL(2,C) ausreicht, dann ja. Sie enthält alle Darstellungen der (orthochronen) Lorentzgruppe und zusätzlich noch die Spinordarstellungen, die selbst keine Darstellungen der Lorentzgruppe sind.
Wenn du die Existenz einer Spinstruktur meinst, die hängt wohl eher von den topologischen Eigenschaften von M ab. Genaueres weiß ich aber nicht. Auf dem Minkowskiraum, der für das Standardmodell eigentlich ohnehin am relevantesten ist, ist die Existenz aber natürlich kein Problem.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 20:12 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Was genau soll denn gehen? Wenn du meinst ob die Gruppe SL(2,C) ausreicht, dann ja. Sie enthält alle Darstellungen der (orthochronen) Lorentzgruppe und zusätzlich noch die Spinordarstellungen, die selbst keine Darstellungen der Lorentzgruppe sind.
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das versteh ich jetzt nicht.
Die Lorentzgruppe hat doch z.B. die Weyldarstellungen (1/2, 0) und (0, 1/2). Sind das denn keine Spinordarstellungen?[/quote] |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 07. Mai 2023 20:23 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Was genau soll denn gehen? Wenn du meinst ob die Gruppe SL(2,C) ausreicht, dann ja. Sie enthält alle Darstellungen der (orthochronen) Lorentzgruppe und zusätzlich noch die Spinordarstellungen, die selbst keine Darstellungen der Lorentzgruppe sind.
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das versteh ich jetzt nicht.
Die Lorentzgruppe hat doch z.B. die Weyldarstellungen (1/2, 0) und (0, 1/2). Sind das denn keine Spinordarstellungen? |
Das sind keine Darstellungen der Lorentzgruppe, sondern deren Überlagerungsgruppe SL(2, C). Die Verhältnisse sind analog zu =SU(2) \rightarrow SO(3)) im euklidischen. Auch dort gehören die Darstellungen mit halbzahligem Spin zur SU(2), nicht zur SO(3). Die Existenz von Fermionen ist genau der Grund, warum man in der Quantentheorie die universellen Überlagerungsgruppen verwendet.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 20:34 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Das sind keine Darstellungen der Lorentzgruppe, sondern deren Überlagerungsgruppe SL(2, C). Die Verhältnisse sind analog zu im euklidischen. Auch dort gehören die Darstellungen mit halbzahligem Spin zur SU(2), nicht zur SO(3). Die Existenz von Fermionen ist genau der Grund, warum man in der Quantentheorie die universellen Überlagerungsgruppen verwendet. |
Ah ok. Dann hatte ich das falsch.
Aber wenn man von der SO(3) die Lie algebra so(3) betrachtet, was dann im quantenmechanischen Jargon die Drehimpulsalgebra ist, dann kann ich doch mit den Eigenwerten des Casimiroperators L^2 die Darstellungen klassifizieren.
Und da bekomme ich ja auch halbzahlige Eigenwerte. Warum sind in dieser Überlegung die Darstellungen der Liealgebra mit Halbzahligem Eigenwert des Casimiroperators keine Darstellungen der Liegruppe? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 07. Mai 2023 20:58 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Das sind keine Darstellungen der Lorentzgruppe, sondern deren Überlagerungsgruppe SL(2, C). Die Verhältnisse sind analog zu im euklidischen. Auch dort gehören die Darstellungen mit halbzahligem Spin zur SU(2), nicht zur SO(3). Die Existenz von Fermionen ist genau der Grund, warum man in der Quantentheorie die universellen Überlagerungsgruppen verwendet. |
Ah ok. Dann hatte ich das falsch.
Aber wenn man von der SO(3) die Lie algebra so(3) betrachtet, was dann im quantenmechanischen Jargon die Drehimpulsalgebra ist, dann kann ich doch mit den Eigenwerten des Casimiroperators L^2 die Darstellungen klassifizieren. |
Ja, die Algebren beider Gruppen sind auch dieselben.
| Zitat: |
Und da bekomme ich ja auch halbzahlige Eigenwerte. Warum sind in dieser Überlegung die Darstellungen der Liealgebra mit Halbzahligem Eigenwert des Casimiroperators keine Darstellungen der Liegruppe? |
Aus den Eigenschaften der Lie-Algebra kann man nicht ohne weiteres auf die Eigenschaften der Gruppe schließen. Im allgemeinen erhält man aus den Darstellungen der Lie-Algebra nur projektive Darstellungen der Gruppe, also Darstellungen deren Multiplikationsgesetz noch eine zusätzliche Phase enthält (wie die -1, die man bei kompletten "Umdrehung" von Spinoren erhält). Ob man daraus echte Darstellungen machen kann, hängt auch von der Topologie der Gruppe ab, also von globalen Eigenschaften, die man nicht aus den infinitesimalen Generatoren ableiten kann.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 22:36 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Aus den Eigenschaften der Lie-Algebra kann man nicht ohne weiteres auf die Eigenschaften der Gruppe schließen. Im allgemeinen erhält man aus den Darstellungen der Lie-Algebra nur projektive Darstellungen der Gruppe, also Darstellungen deren Multiplikationsgesetz noch eine zusätzliche Phase enthält (wie die -1, die man bei kompletten "Umdrehung" von Spinoren erhält). Ob man daraus echte Darstellungen machen kann, hängt auch von der Topologie der Gruppe ab, also von globalen Eigenschaften, die man nicht aus den infinitesimalen Generatoren ableiten kann. |
Also gilt: zu jeder Darstellung einer Liegruppe gibt es eine Darstellung in der Liealgebra aber nicht umgekehrt?
Kommen wir mal zu den Prinzipalfaserbündeln. Also mein Verständnis davon ist, dass man das braucht, um auf der Mannigfaltigkeit die Liegruppen reinzubringen.
Also man nehme eine Mannigfaltigkeit F und eine Liegruppe G.
Dann definiere man die rechte G-Wirkung ( hab das aus dem Englischen von right G Action übersetzt. Nennt man das so im Deutschen)
FxG -> F
Ist F der Totalraum eines Faserbündels, nennt man das zusammen mit der rechten G-Wirkung ein Hauptfaserbündel. Gut, es müssen dann noch weitere Eigenschaften gelten wie z.B., dass die rechte G-Wirkung frei ist etc.
aber im Wesentlichen ist es doch das oder?
Um zu Spinoren zu kommen, wählt man als F das Framebundle TL einer Mannigfaltigkeit M. Dann entspricht ja das G einer Transformation von Basisvektoren, weil TL eine Menge an Basisvektoren ist oder nicht?
Ist es das im Wesentlichen?
Ich möchte bevor ich mich mit den Formalien beschäftige zumindest erstmal grob verstehen worum es überhaupt geht.
Bei assoziierten Vektorraumbündel bin ich noch nicht. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 08. Mai 2023 19:09 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Aus den Eigenschaften der Lie-Algebra kann man nicht ohne weiteres auf die Eigenschaften der Gruppe schließen. Im allgemeinen erhält man aus den Darstellungen der Lie-Algebra nur projektive Darstellungen der Gruppe, also Darstellungen deren Multiplikationsgesetz noch eine zusätzliche Phase enthält (wie die -1, die man bei kompletten "Umdrehung" von Spinoren erhält). Ob man daraus echte Darstellungen machen kann, hängt auch von der Topologie der Gruppe ab, also von globalen Eigenschaften, die man nicht aus den infinitesimalen Generatoren ableiten kann. |
Also gilt: zu jeder Darstellung einer Liegruppe gibt es eine Darstellung in der Liealgebra aber nicht umgekehrt? |
Ja.
| Zitat: |
Kommen wir mal zu den Prinzipalfaserbündeln. Also mein Verständnis davon ist, dass man das braucht, um auf der Mannigfaltigkeit die Liegruppen reinzubringen.
Also man nehme eine Mannigfaltigkeit F und eine Liegruppe G.
Dann definiere man die rechte G-Wirkung ( hab das aus dem Englischen von right G Action übersetzt. Nennt man das so im Deutschen)
FxG -> F
Ist F der Totalraum eines Faserbündels, nennt man das zusammen mit der rechten G-Wirkung ein Hauptfaserbündel. Gut, es müssen dann noch weitere Eigenschaften gelten wie z.B., dass die rechte G-Wirkung frei ist etc.
aber im Wesentlichen ist es doch das oder?
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Nein, nicht ganz. Ein Hauptfaserbündel ist nicht einfach ein Faserbündel mit Rechtswirkung von G, sondern eins mit G als typischer Faser. Das bedeutet dein F ist lokal diffeomorph zu  , wobei  eine offene Menge im Basisraum ist.
Den ganzen Aufwand benötigt man aber eigentlich nur für Raumzeiten mit Krümmung oder ungewöhnlichen Topologien. Wenn du einfach nur Spinorfelder auf dem Minkowskiraum M beschreiben willst, reichen dir ja simple Funktionen  in irgendeinen komplexen Vektorraum mit Darstellung der . Diese entsprechen dann Schnitten im trivialen Bündel  . Dasselbe gilt sinngemäß für Tensorfelder.
Andernfalls benötigst du im Standardmodell eigentlich nur Hauptfaserbündel zur Beschreibung der Eichfelder und deren Kopplungen mit Strukturgruppe \times SU(2)\times U(1)) .
Bis jetzt ist mir noch nicht klar, wieso du überhaupt Schnitte in Tensor-/Spinorbündeln betrachten willst.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 08. Mai 2023 20:33 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Bis jetzt ist mir noch nicht klar, wieso du überhaupt Schnitte in Tensor-/Spinorbündeln betrachten willst. |
Für Quantenfeldtheorie auf einer gekrümmten Raumzeit.
Letztlich ist die Raumzeit eine Lorentzmannigfaltigkeit und auf ihr leben die Tensormaterie und Spinormaterie.
Aber abseits davon habe ich noch eine banalere Frage.
Was ist die Motivation Darstellungen von
 ) zu betrachten?
Weil man aus Objekten, die sich so transformieren Lorentzskalare bilden kann? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18001
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| TomS Verfasst am: 08. Mai 2023 21:29 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | Aber abseits davon habe ich noch eine banalere Frage.
Was ist die Motivation Darstellungen von
zu betrachten?
Weil man aus Objekten, die sich so transformieren Lorentzskalare bilden kann? |
Weil man bereits aus der nicht-relativistischen Quantenmechanik Fermionen mit halbzahligem Spin kennt, also weiß, dass man Spinordarstellungen benötigt, und weil man dies in die relativistische Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie übertragen muss. M.a.W., die Tensordarstellungen der SO(3,1) liefern nicht alle physikalisch bekannten Teilchen bzw. deren Felder.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 08. Mai 2023 21:31 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: |
Letztlich ist die Raumzeit eine Lorentzmannigfaltigkeit und auf ihr leben die Tensormaterie und Spinormaterie.
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Naja, ganz so ist es wohl auch nicht. Das Higgs ist eigentlich das einzige (elementare) "Tensorfeld". Alles andere sind Spinoren oder Eichfelder.
| Zitat: |
Aber abseits davon habe ich noch eine banalere Frage.
Was ist die Motivation Darstellungen von
zu betrachten?
Weil man aus Objekten, die sich so transformieren Lorentzskalare bilden kann? |
Ja, von den Feldern verlangt man das nur wegen der manifesten Kovarianz. Auf dem Hilbertraum benötigt man eine Darstellung der Poincare-Algebra aus physikalischen Gründen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18001
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| TomS Verfasst am: 08. Mai 2023 21:33 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Naja, ganz so ist es wohl auch nicht. Das Higgs ist eigentlich das einzige (elementare) "Tensorfeld". Alles andere sind Spinoren oder Eichfelder. |
Das Higgsfeld ist kein Tensor- sondern ein Skalarfeld.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 08. Mai 2023 21:41 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Naja, ganz so ist es wohl auch nicht. Das Higgs ist eigentlich das einzige (elementare) "Tensorfeld". Alles andere sind Spinoren oder Eichfelder. |
Das Higgsfeld ist kein Tensor- sondern ein Skalarfeld. |
Das ist ein Tensorfeld nullter Stufe. Der Gegensatz, um den es gerade ging war Tensor/Spinor im Sinne von echten Darstellungen der Lorentzgruppe vs. projektiven Darstellungen. Da gehören Skalarfelder zu den Tensoren.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 08. Mai 2023 22:36 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Naja, ganz so ist es wohl auch nicht. Das Higgs ist eigentlich das einzige (elementare) "Tensorfeld". Alles andere sind Spinoren oder Eichfelder.
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Aber die Eichfelder sind doch Tensorfelder oder nicht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18001
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| TomS Verfasst am: 08. Mai 2023 22:38 Titel: |
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Ja. Tensorfelder erster Stufe, also Vektorfelder.
(Ich verstehe die Unterscheidung nicht, die index_razor beim Higgsfeld anführt)
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Mai 2023 06:53 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Naja, ganz so ist es wohl auch nicht. Das Higgs ist eigentlich das einzige (elementare) "Tensorfeld". Alles andere sind Spinoren oder Eichfelder.
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Aber die Eichfelder sind doch Tensorfelder oder nicht? |
Nein, ich denke nicht. Eichfelder gehören nicht zu Schnitten in Tensorbündeln über der Raumzeit und sie bilden im allgemeinen keine Darstellung der Lorentzgruppe. (siehe zum letzten Punkt z.B. Weinberg, Quantum Theory of Fields, I, Kap. 5.9).
Eichfelder sind eher analog zu den affinen Zusammenhängen auf Mannigfaltigkeiten zu sehen, deren Komponenten (die Christoffelsymbole) auch meist nicht als Tensorkomponenten angesehen werden.
Aber zugegeben, ein bißchen willkürlich ist die Klassifikation vielleicht schon. Aber Vektorfelder im engeren Sinne, d.h. Schnitte  im Tangentialbündel sind Eichfelder nicht.
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 09. Mai 2023 19:07 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Nein, ich denke nicht. Eichfelder gehören nicht zu Schnitten in Tensorbündeln über der Raumzeit und sie bilden im allgemeinen keine Darstellung der Lorentzgruppe. (siehe zum letzten Punkt z.B. Weinberg, Quantum Theory of Fields, I, Kap. 5.9).
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Sind die klassischen Entsprechungen der Eichfelder Tensoren? Also ist bspw. das klassische elektromagnetische Viererpotential ein Vektorfeld? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Mai 2023 20:06 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Nein, ich denke nicht. Eichfelder gehören nicht zu Schnitten in Tensorbündeln über der Raumzeit und sie bilden im allgemeinen keine Darstellung der Lorentzgruppe. (siehe zum letzten Punkt z.B. Weinberg, Quantum Theory of Fields, I, Kap. 5.9).
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Sind die klassischen Entsprechungen der Eichfelder Tensoren? Also ist bspw. das klassische elektromagnetische Viererpotential ein Vektorfeld? |
Nein, es ist ein Zusammenhang auf einem U(1)-Hauptfaserbündel. Ein Vektorfeld (eigentlich 1-Form), d.h. ein Schnitt  , wird daraus erst durch Wahl einer Eichung (und verschiedene Eichung ergeben verschiedene Felder). Aber das EM-Potential ist auch insofern etwas speziell, als die Eichgruppe ziemlich einfach ist. Im allgemeinen erhält man nach Eichung nur eine lie-algebra-wertige 1-Form auf der Raumzeit, also immer noch kein Tensorfeld im engeren Sinn. Dies erfordert noch die Wahl einer Basis in der Lie-Algebra und ergibt dann ein Kovektorfeld pro Generator.
In der Quantenmechanik ergibt sich aber ein Zusammenhang zwischen masselosen Spin-1-Teilchen und Eichfeldern. Man kann nämlich aus den Erzeugern und Vernichtern solcher Teilchen keine Felder konstruieren, die nach einer Darstellung der Lorentzgruppe transformieren. Die Existenz elementarer masseloser Spin-1-Teilchen erzwingt also gewissermaßen eine Eichsymmetrie.
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Quantumdot
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| Quantumdot Verfasst am: 09. Mai 2023 20:43 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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Beim entsprechenden Quantenfeld hat man dann auch nach Wahl einer Eichung kein Tensorfeld?
Ist der Feldstärketensor, den man aus dem Viererpotential bildet in dem Sinne ein Tensorfeld? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Mai 2023 21:15 Titel: Re: Spinorfelder auf Mannigfaltigkeiten |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | Beim entsprechenden Quantenfeld hat man dann auch nach Wahl einer Eichung kein Tensorfeld? |
Es gibt in der Hinsicht überhaupt keinen Unterschied zwischen Quantentheorie und klassischer Theorie.
| Zitat: |
Ist der Feldstärketensor, den man aus dem Viererpotential bildet in dem Sinne ein Tensorfeld? |
Die Feldstärke definiert immer eine eichunabhängige lie-algebra-wertige 2-Form. Also eine gewöhnliche 2-Form in der U(1)-Eichtheorie.
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