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kornelthefirst
Anmeldungsdatum: 30.04.2023
Beiträge: 2
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 kornelthefirst Verfasst am: 30. Apr 2023 13:09 Titel: Van-der-Pol-Oszillator Grenzzyklus |
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Meine Frage:
Wir haben eine Van der Pol Oszillator mit kleinem  und nach einer Fourier-Reihe, brauchen wir die Gleichung vereinfachen.
Der Oszillator lässt sich von \dot{x} + x = 0) beschrieben.
Die Fourier-Reihe:
=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty } [a_k \cos(k \omega t) + b_k sin( k \omega t)])
Ich muss zeigen, dass in führender Ordnung von gilt
\dot{x_p} = \epsilon a_1\omega[(1-\frac{a_1^2}{4})\sin(\omega t)-\frac{a_1^2}{4}\sin(3 \omega t)])
Meine Ideen:
Zunächst habe ich  angekuckt und in eine Phasenraum-Trajektorie dargestellt, wo die Achsen x und  sind. Diese Trajektorie zeigt eine kreisförmige Grenzzyklus und ergibt die Lösung
 = a_1 \cos(t))
Davon ausgehend haben alle Fourier-Koeffizienten außer  mindestens von der Ordnung sind.
und  kann man beliebig auswählen, also ich nehme  und  an.
Ich habe die erste Gleichung vereinfacht, wobei ich die zweite verwendet habe:
 - b_k sin( k \omega t)] + \epsilon (x^2-1)\dot{x} + \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty } [a_k \cos(k \omega t) + b_k sin( k \omega t)])
\dot{x} + \frac{a_0}{2} = 0)
Hier bin ich stehen geblieben, ich finde es wahrscheinlich, dass trigonometrische Identitäten in Frage kommen, aber bisher habe ich die Richtige noch nicht gefunden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18117
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2023 14:52 Titel: |
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Es gilt
Nun ist m.E. eine ganz normale Störungsreihe in epsilon gefragt, d.h.
} + \epsilon x_{(1)} + \epsilon^2 x_{(2)} + \ldots)
Das setzt du in die Differentialgleichung ein und sortierst nach Potenzen von epsilon.
In nullter Ordnung ist das ein gewöhnlicher harmonischer Oszillator, d.h.
} + x_{(0)} = 0)
Dafür erhältst du eine Schar von Lösungen.
In der Gleichung der ersten Ordnung fallen die Terme ausschließlich nullter Ordnung heraus, denn diese werden durch die eben genannte Gleichung bereits gelöst. Du behältst nur Terme erster Ordnung in epsilon; diese koppeln an die Terme nullter Ordnung.
Damit erhältst du eine DGL für die erste Ordnung, die von der gewählten Lösung der nullten Ordnung abhängt.
Bis dahin solltest du mal rechnen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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kornelthefirst
Anmeldungsdatum: 30.04.2023
Beiträge: 2
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| kornelthefirst Verfasst am: 30. Apr 2023 18:21 Titel: |
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Danke, mit diesen Anfangsbedingungen habe ich auf die gefragte Form gekommen  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18117
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| TomS Verfasst am: 01. Mai 2023 06:52 Titel: |
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Die Terme erster Ordnung in epsilon liefern
} + (x_{(0)}^2 - 1) \dot{x}_{(0)} + x_{(1)} = 0)
Ich verstehe nicht, wie genau deine Fourierreihe ins Spiel kommt. Und ich verstehe nicht, wie die zweite Zeitableitung verschwinden kann.
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