Einstein-Modell mit Korrekturterm

Jakobssonsdottir · Gast

Meine Frage:
Man betrachtet das Einsteinmodell aber mit Einteilchenenergien

mit

Man betrachtet N unterscheidbare, identische Oszillatoren und soll die Zustandssumme bestimmen. Außerdem sei Lambda klein.

Meine Ideen:
Zustandssumme ist hier ja

Die Aufgabe ist also im Grunde genommen lediglich mit der oben gegebenen Komponente der Einteilchenenergie die Zustandssumme zu bestimmen. Mein Problem ist jetzt eben die Summe zu berechnen. Die Zustandssumme sollte ja folgendermaßen gegeben sein:

So als Summe habe ich keine Ahnung, wie man es ausrechnen soll. Sollte dies möglich sein, so freue ich mich sehr über eine Erklärung. Ansonsten war meine Idee, die Summe durch ein Integral auszutauschen. Jedoch fehlt mir hier eine Rechtfertigung. Zwar ist das Lambda klein, so dass es gerechtfertigt wäre, wenn der Lambdaterm alleine da stünde, jedoch kann ich ja den ersten Term nicht einfach so als klein annehmen, oder? Wenn hier jemand eine Rechtfertigung für die Integralumformung kennt, gerne sagen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich kenne das Modell nicht, aber zunächst mal habe ich Zweifel bezüglich der Vorzeichen: für große n gehen die Energien nach minus Unendlich; die Zustandssumme ist divergent.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Eine Idee noch ohne Beweis der Konvergenz *) wäre folgende:

Zunächst Taylorentwicklung in lambda bis zur ersten Ordnung

Nun schreibst du

und ziehst diese Ableitung nach a vor die Summe über n.

Diese Summe

berechnest du mittels der geometrischen Reihe.

Das liefert zunächst den Term nullter Ordnung, die Ableitung die Korrektur erster Ordnung in lambda.

*) Damit meine ich, dass noch zu zeigen wäre, ob bzw. wann die aus der Taylorreihe in lambda sowie Vertauschung der Summen resultierende Darstellung

in allen Ordnungen in lambda konvergiert.