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Raufasertapete
Gast
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 Raufasertapete Verfasst am: 23. Jan 2021 17:16 Titel: Elektron-Proton-Streuung gemitteltes Amplitudenquadrat |
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Meine Frage:
Guten Tag,
ich betrachte die Elektron-Proton-Streuung, also ein Elektron (Impulsvierervektor  ) und ein Proton (Impulsvierervektor  ) koppeln mit einem Photon mit Impulsvierervektor  wobei  zum ausfallenden Proton und  zum ausfallenden Elektron nach dem Streuvorgang gehören.  ist die Protonenmasse,  die Elektronenmasse.
Ich will nun den Ausdruck der über die Spins gemitteltelten quadrierten Amplitude umformen, der gegeben ist durch
durch zuvorige Umformungen konnte ich den Tensor  in folgende Form bringen:
\left(-g^{\mu\nu}+\frac{q^{\mu}q^{\nu}}{q^2}\right)+\frac{K_2(q^2)}{M^2}\left(p^{\mu}+\frac{q^{\mu}}{2}\right)\left(p^{\nu}+\frac{q^{\nu}}{2}\right))
Außerdem weiß ich, dass
\right])
Mein Ziel ist es, das Amplitudenquadrat mit obigen Informationen in nachfolgende Form zu bringen:
\left[(p_1\cdot p_3)-2m^2\right]+K_2(q^2)\left[\frac{(p_1\cdot p)(p_2 \cdot p)}{M^2}+\frac{q^2}{4} \right]\right) )
Außerdem habe ich zuvor gezeigt, dass
Meine Ideen:
Wie schon gesagt, habe ich das nicht hinbekommen, aber hier, was ich gemacht habt (vielleicht sieht ja jemand den Fehler oder etwas, was ich übersehen habe):
Ich will zuerst berechnen:
Zuerst betrachte ich nur die Terme mit dem Faktor ) , damit das alles übersichtlich bleibt, wobei die Indizes des K Tensors nun unten stehen müssen:
\right]K_1(q^2)\left(-g_{\mu\nu}+\frac{q_{\mu}q_{\nu}}{q^2}\right))
-(p_3^{\mu} p_{1_{\mu}})-g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}\left(m^2-p_1\cdot p_3\right)+\frac{p_1^{\mu}q_{\mu}p_3^{\nu}q_{\nu}}{q^2}+\frac{p_3^{\mu}q_{\mu}p_1^{\nu}q_{\nu}}{q^2}+\frac{q^{\nu}q_{\nu}}{q^2}\left(m^2-p_1\cdot p_3\right) \right])
-(p_3\cdot p_1)-m^2+(p_1\cdot p_3)+\frac{(p_1\cdot q)(p_3\cdot q)}{q^2}+\frac{(p_3\cdot q)(p_1\cdot q)}{q^2}+\frac{q^2}{q^2}\left(m^2-p_1\cdot p_3\right) \right])
-m^2+m^2+(p_1\cdot p_3)-(p_1\cdot p_3)+\frac{2}{q^2}(p_1\cdot q)(p_3\cdot q)\right])
+\frac{(p_1\cdot(p_1-p_3))(p_3\cdot(p_4-p_))}{(p_1-p_3)(p_4-p)} \right]
<br />
)
+\frac{(p_1\cdot p_1)(p_3\cdot p_4)-(p_1\cdot p_1)(p_3\cdot p)-(p_1\cdot p_3)(p_3\cdot p_4)+(p_1\cdot p_3)(p_3 \cdot p)}{(p_1\cdot p_4)-(p_1\cdot p)-(p_3\cdot p_4)+(p_3\cdot p)} \right])
+\frac{m^2(p_3\cdot p_4)-m^2(p_3\cdot p)-(p_1\cdot p_3)(p_3\cdot p_4)+(p_1\cdot p_3)(p_3\cdot p)}{(p_1\cdot p_4)-(p_1\cdot p)-(p_3\cdot p_4)+(p_3\cdot p)} \right])
Wie man sieht, entspricht dies schon beinahe meinem gesuchten Ergebnis für den  Teil, wenn im Zähler die rechten Produktterme jeweils rausgekürzt würden und der Nenner wegfiele. Doch ich sehe keinen Weg das zu tun.
Kann bitte jemand meinen Weg hierhin nachvollziehen und mich auf Fehler hinweisen und am besten sogar sagen, wie ich auf das gesuchte Ergebnis komme? Ich bin ja schon ziemlich nah dran!
Wäre echt super!
Den  Teil lasse ich jetzt weg, da er vom rechnerischen ja genauso geht und wenn ich hier im ersten Teil meinen fehler verstanden habe, werde ich den zweiten Teil sicher auch lösen können.
Danke im Voraus! |
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Raufasertapete
Gast
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| Raufasertapete Verfasst am: 24. Jan 2021 15:22 Titel: |
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Update zur Frage: Ich habe die Aufgabe "gelöst". Es muss anscheinend gelten
 , das soll ein "current conservation law" sein. Könnte mir jemand erklären, warum das hier gelten muss, denn dann hätte ich die Aufgabe komplett verstanden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Jan 2021 18:31 Titel: |
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Das folgt aus der Definition des Matrixelementes und der Fouriertransformation.
Skizze:
 \sim \int d^4q \, \partial_\mu \, e^{iqx} \, L^{\mu\nu}(q) = \int d^4q \, (iq_\mu) \, e^{iqx} \, L^{\mu\nu}(q))
Im leptonischen Tensor steht sowas wie
 \sim (\bar{\psi} \gamma^\mu \psi)(x) \, (\bar{\psi} \gamma^\nu \psi)(0) )
 \sim (\bar{u} \gamma^\mu u)(k+q) \, (\bar{u} \gamma^\nu u)(k) )
also das Produkt zweier fermionischer Ströme, vor bzw. nach der Streuung mit Impuls k bzw. k+q.
Das
 \sim q_\mu (\bar{u} \gamma^\mu u)(k+q) \ldots )
entspricht also der Fouriertransformierten von
 \sim \partial_\mu (\bar{\psi} \gamma^\mu \psi)(x) \ldots \sim \partial_\mu j^\mu \ldots = 0)
wg. Erhaltung der elektrischen Ladung.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jan 2021 18:45 Titel: |
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| Raufasertapete hat Folgendes geschrieben: | Update zur Frage: Ich habe die Aufgabe "gelöst". Es muss anscheinend gelten
, das soll ein "current conservation law" sein. Könnte mir jemand erklären, warum das hier gelten muss, denn dann hätte ich die Aufgabe komplett verstanden. |
Das ist die Quantenversion der Kontinitätsgleichung  und nennt sich Ward-Identität (Details, siehe TomS Antwort, mit dem ich mich überschnitten habe). Du kannst es aber auch einfach explizit ausrechnen und  und  einsetzen, dann siehst Du explizit, dass es 0 ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Jan 2021 19:02 Titel: |
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Wobei die Kernaussage Ward-Identität ist, das diese Eigenschaft unter Quantisierung und Renormierung erhalten bleibt, was im vorliegenden Fall noch gar nicht betrachtet wird.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jan 2021 19:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wobei die Kernaussage Ward-Identität ist, das diese Eigenschaft unter Quantisierung und Renormierung erhalten bleibt, was im vorliegenden Fall noch gar nicht betrachtet wird. |
Na die Berechnung des Matrixelements ist doch eine quantenfeldtheoretische Rechnung. Daher wäre es hier schon wichtig zu wissen, dass diese Eigenschaft unter Quantisierung erhalten bleibt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Jan 2021 20:28 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wobei die Kernaussage Ward-Identität ist, das diese Eigenschaft unter Quantisierung und Renormierung erhalten bleibt, was im vorliegenden Fall noch gar nicht betrachtet wird. |
Na die Berechnung des Matrixelements ist doch eine quantenfeldtheoretische Rechnung. |
Aber eine seeeehr einfache 
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