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Nachricht |
Cornelius Scipio
Gast
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 Cornelius Scipio Verfasst am: 03. Dez 2020 10:19 Titel: Vollständigkeitsrelation, Ortsabhängigkeit |
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Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage:
Gilt
\psi_{n}(x')=\delta (x-x'))
wenn die Psi die normierten Eigenzustände eines harmonischen Oszillators sind und falls ja, warum?
Meine Ideen:
Mir ist aufgefallen, dass es Ähnlichkeiten zur Vollständigkeitsrelation besitzt und somit gerade die Einheitsmatrix ergäb, wenn x=x' wäre, jetzt müsste ich also nur wissen, warum hier gerade die Delta Funktion herauskommt. Leider konnte ich dazu keine Erklärung finden.
Danke im Voraus! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 03. Dez 2020 12:16 Titel: |
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Anstatt das mathematisch zu zeigen, motiviere ich das physikalisch:
Die Eigenvektoren von selbstadjungierten Operatoren im Hilbertraum bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Demzufolge gilt auch für die Eigenzustände des Hamiltonoperators H des harmonischen Oszillators
\,|n\rangle = 0; \qquad \epsilon_n = n + 1/2)
Für die Hermitefunktionen h_n(x) als Eigenfunktionen des Hamiltonoperators in Ortsdarstellung
\,h_n(x) = 0)
und mit
 = \langle x|n\rangle)
folgt dann
 \, h_n(x) = \sum_n \big(\langle y | n \rangle\big)^\ast \langle x | n \rangle = \left( \sum_n \langle y | n \rangle \langle n | x \rangle \right)^\ast = \big(\langle y | 1 | x \rangle\big)^\ast = \delta(x-y) )
Das letzte Gleichheitszeichen folgt mittels der Vollständigkeitsrelation der Ortseigenzustände bzw. der Dartstellung der delta-Funktion mittels ebener Wellen.
Diese Argumentation, d.h. das Zurückführen auf die Vollständigkeit der Ortseigenzustände gilt für jeden selbstadjungierten Hamiltonoperator, also für jedes quantenmechanische System
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 03. Dez 2020 14:28 Titel: Re: Vollständigkeitsrelation, Ortsabhängigkeit |
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| Cornelius Scipio hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage:
Gilt
wenn die Psi die normierten Eigenzustände eines harmonischen Oszillators sind und falls ja, warum?
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Ja, das bedeutet nichts anderes, als daß du jeden Zustand des harmonischen Oszillators nach Eigenzuständen seines Hamiltonoperators entwickeln kannst
})
Denn die letzte Gl. ist nur eine abstrakte Umformulierung von
 = \sum_n \psi_n(x)\left(\int\dd^3 y \psi_n(y)^\star f(y)\right) = \int\dd^3 y \left(\sum_n \psi_n(x)\psi_n(y)^\star\right) f(y),)
d.h. die Summe unter dem Integral erfüllt also genau die definierende Eigenschaft der  -Funktion.
Letzlich folgt die Behauptung also daraus, daß  eine Hilbertraumbasis bildet. Ich weiß nicht, wie sehr du an den Details dieses konkreten Falls interessiert bist. Aber man kann für Hermite-Funktionen explizit zeigen, daß sie alle orthogonal zueinander sind und es keine weiteren normierten Funktionen gibt, die orthogonal zu allen sind. Daraus ergäbe sich dann (1).
Die Formel
^\star \psi_n(y) = \delta(x-y),)
sowie Gl (1) gelten in diesem Fall nur, weil das komplette Spektrum des harmonischen Oszillators diskret ist. Ansonsten muß man formal von der Summe zu einem Integral übergehen und kann die Vollständigkeitsrelation nicht mehr mittels Eigenzuständen von H (also Vektoren im Hilbertraum) allein ausdrücken. |
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