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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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 manuel459 Verfasst am: 30. Sep 2020 12:51 Titel: Apnoetauchen |
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Hey Leute,
ich würde gern ausrechnen, wie tief man beim Apnoetauchen runter muss, sodass sich Auftrieb und Gewichtskraft aufheben (da die Luft in der Lunge durch den höheren Druck komprimiert wird und der Auftrieb sinkt). In meinem Modell (siehe unten) komme ich aber nie auf Tiefen von 30m (zb laut Wikipedia), sondern lediglich auf ca 1 m. Wäre toll wenn jemand drüberschauen könnte - irgendwo muss ein Fehler liegen. Danke!
Modell: m=80 kg
Dichte rho_m Mensch (eingeatmet incl. 6 Liter Lungenvolumen): 996 kg/ m³
Dichte Wasser: rho_w=1000 kg/m³.
Damit ist V_ges=m/rho_m und V=0.006 m³.
Auftrieb durch Körper ohne Lunge: (V_ges-V)*rho_w*g
Auftrieb durch Lungenvolumen: V_x*rho_w*g wobei
V_x aus (p_0+rho_w*g*h)V_x=p_0*V (isotherme Zustandsänderung)
p_0 ist dabei Atmosphärendruck (Normaldruck)
nun muss (V_ges-V)*rho_w+V_x*rho_w=m sein. Umformung ergibt
h=[(p_0*V)/(m/rho_w+V-V_ges)-p_0]/(rho_w*g)
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Sep 2020 14:02 Titel: |
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M.E. ist das Modell nicht zutreffend, da es sich um eine statische Betrachtung handelt.
Der Taucher überwindet die Auftriebskraft durch seine Schwimmbewegung solange seine Atemluftreserve oder seine Kraft reicht |
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 30. Sep 2020 14:11 Titel: |
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Das stimmt. Mir ging es hier darum herauszufinden, ab welcher Tiefe dies nicht mehr notwendig ist.
Ist die Rechnung selbst denn sonst korrekt?
LG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2020 14:59 Titel: |
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Ich habe ein paar grundsätzliche Anmerkungen.
Ist das Lungenvolumen von 6 Litern = das maximale Atemgasvolumen tatsächlich das zu betrachtende Volumen, wenn die Lunge im umgebenden Überdruck komprimiert wird? D.h. gilt im maximal eingeatmeten Zustand tatsächlich Lungen- = Thoraxvolumen?
Ist bei Apnoetauchern ein Lungenvolumen von 6 Litern realistisch?
https://www.medi-learn.de/seiten/errata/pdf/PL4_S_14_1_2_3.pdf
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 30. Sep 2020 15:07 Titel: |
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Nein. Deshalb auch V_x. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2020 15:50 Titel: |
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Ich skizziere mal deinen Ansatz, so wie ihn verstanden habe:
Taucher schwebt: Auftrieb = Gewichtskraft
 \, \rho_W \stackrel{!}{=} g\,M = g \, \rho_K \, V_0)
Isotherm + Pascal’sches Gesetz:
 \, V(h) )
 = \frac{p_0}{p_0 + g \, \rho_W \, h} V_0 )
Einsetzen
So richtig verstanden?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Sep 2020 22:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Sep 2020 18:51 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
So richtig verstanden? |
 ?
 ? |
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 30. Sep 2020 19:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich skizziere mal deinen Ansatz, so wie ihn verstanden habe:
Taucher schwebt: Auftrieb = Gewichtskraft
Isotherm + Pascal’sches Gesetz:
 = \frac{p_0}{p_0 + g \, \rho \, h} V_0 )
Einsetzen
So richtig verstanden? |
Nein. Der Auftrieb wird bei mir in 2 Komponenten aufgeteilt, diese sind jedoch nicht gleich groß sondern wirken gemeinsam gegen m*g. Die beiden Komponenten sind einmal der Auftrieb durch den Körper ohne Lungenluft, welcher inkompressibel angenommen wird und zweitens die kompressible Luftblase = Lunge.
LG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2020 21:24 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | ?
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Ja, warum nicht?
Bei h = 0 würde ein Körper mit größer bzw. kleinerer Dichte als Wasser absinken bzw. teilw. aus dem Wasser herausragen. Und bei zunehmender Tiefe wird der Körper nur bei abnehmender Dichte schweben.
Ich bin nicht sicher, dass der Ansatz vernünftig ist, aber so habe ich ihn verstanden; das wollte ich nur bestätigt haben.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2020 21:29 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | | Nein. Der Auftrieb wird bei mir in 2 Komponenten aufgeteilt, diese sind jedoch nicht gleich groß sondern wirken gemeinsam gegen m*g. Die beiden Komponenten sind einmal der Auftrieb durch den Körper ohne Lungenluft, welcher inkompressibel angenommen wird und zweitens die kompressible Luftblase = Lunge. |
Das kann man anschließend immer noch machen; für den Auftrieb sind aber nur die mittlere Dichte und das Gesamtvolumen relevant.
Trotzdem - ist das ansonsten dein Ansatz?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2020 22:10 Titel: |
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Zur Zerlegung des Körpers in zwei Teilvolumina habe ich nochmal nachgedacht: ich sehe ich nicht, wie das weiterhelfen könnte.
Das kompressible Volumen ist deutlich größer als das Atemvolumen. Das Lungengewebe ist schwammartig, der Thorax wird ebenfalls komprimiert, d.h. du kennst weder dieses kompressible Volumen noch seine Dichte.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 30. Sep 2020 22:14 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: |
Nein. Der Auftrieb wird bei mir in 2 Komponenten aufgeteilt, diese sind jedoch nicht gleich groß sondern wirken gemeinsam gegen m*g. Die beiden Komponenten sind einmal der Auftrieb durch den Körper ohne Lungenluft, welcher inkompressibel angenommen wird und zweitens die kompressible Luftblase = Lunge.
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Dann könntest du modellmäßig das Volumen des Menschen auf Körpermasse (K) und Lungenvolumen (L) aufteilen:
)
In der Tiefe h ist (bei inkompressiblem Wasser) wie von TomS angegeben:
=\frac{p_0}{p_0+\varrho_W \cdot g \cdot h} V_{L_0})
und es folgt dann:
 \cdot \frac{V_K}{V_{L_0}})
Zur Abschätzung der rechten Daten braucht man das Körpervolumen (75 Liter?) und Lungenvolumen (5 Liter?)
Die rechte Seite wäre dann:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 30. Sep 2020 22:39 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zur Zerlegung des Körpers in zwei Teilvolumina habe ich nochmal nachgedacht: ich sehe ich nicht, wie das weiterhelfen könnte.
Das kompressible Volumen ist deutlich größer als das Atemvolumen. Das Lungengewebe ist schwammartig, der Thorax wird ebenfalls komprimiert, d.h. du kennst weder dieses kompressible Volumen noch seine Dichte. |
Aber ihr habt recht, man kommt nicht drum herum, da der isotherme Ansatz höchstens für das kompressible Volumen verwendet werden kann.
 \to V^K + V^T(h))
 \, V^T(h))
Damit modifiziert man in die o.g. Gleichungen.
\right] \, \rho_W \stackrel{!}{=} M)
Trotzdem muss man m.E. Thorax- statt Lungenvolumen bei Normaldruck einführen. Auf der rechten Seite kann man die bekannte Masse M stehen lassen - alternativ die Form von Qubit.
EDIT: Der Rest wäre Algebra bei Kaffeetrinken und daher nicht wirklich zuverlässig.
Ich komme zunächst auf
Hier wird klar, warum die Abschätzung so schwierig ist. Da das komprimierbare Volumen recht klein im Vergleich zum Gesamtvolumen ist und die Dichte des Körpers sehr nahe an der von Wasser liegt, kann der Nenner klein werden, d.h. fehlerhafte Annahmen werden einen großen Einfluss haben.
Anmerkung: In der Realität wird‘s noch komplizierter, da der Taucher sicher einen Neoprenanzug trägt, der ebenfalls zum Auftrieb beiträgt und der komprimierbar ist. D.h. M wäre durch Masse des Tauchers plus die des Anzugs und der Flossen zu ersetzen, V^T durch Thorax- plus Anzugvolumen.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5874
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| Mathefix Verfasst am: 01. Okt 2020 12:11 Titel: |
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Der Wasserdruck wirkt allseitig auf den Körper. Wenn man diesen als elastisch verformbar ansieht, kann man bei bekanntem Kompressionsmodul K nachstehenden Ansatz verfolgen:
 = p_l+ \varrho_w\cdot g\cdot h )
 = V_k \cdot e^{-\frac{\varrho_w \cdot g}{K} \cdot h} )
Gleichgewichtsbedingung
Annahmen:  , 
= V_k(h)\cdot \varrho_w \cdot g = V_k \cdot e^{-\frac{\varrho_w \cdot g}{K} \cdot h}\cdot \varrho_w\cdot g = m_k \cdot g = V_k \cdot \varrho_k \cdot g )
) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 01. Okt 2020 12:46 Titel: |
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Du musst den gesamten Körper wieder in einzelne Teile zerlegen.
Du hast aber recht, dein Ansatz ist sicher besser geeignet, weil man zwar eine isotherme Zustandsänderung annehmen kann und demnach auch das entsprechende Kompressionsmodul, jedoch im oben diskutierten Ansatz die Näherung des idealen Gases eingeht, die sicher nicht für den Thorax gilt.
 + V_0^T \, e^{- g \rho_W h / K} \right] \, \rho_W \stackrel{!}{=} M )
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 01. Okt 2020 13:56 Titel: |
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@TomS
Da der Körper anisotrop ist, bin ich von einem mittleren K-Wert über alle Körperteile ausgegangen.
Der Kopf wird eben weniger komprimiert als das Gesäss.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18167
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| TomS Verfasst am: 01. Okt 2020 16:15 Titel: |
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Das ist angesichts des Verlaufs des Threads nun auch egal.
Fakt ist, dass eine einfache Abschätzung wohl nicht funktioniert: Man muss den Körper in verschiedene Teile zerlegen - Thorax ... Schädel - wobei unterschiedliche Kompromierbarkeit vorliegt. Das Atemvolumen ist wenig aussagekräftig, man benötigt reale Volumenmessungen. Der Ansatz mittels idealem Gas funktioniert nur für die Atemluft alleine, sicher jedoch nicht für Körperteile.
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 03. Okt 2020 15:30 Titel: |
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Da schaut man mal einen Tag nicht ins Forum und schon ist die Sache bis ins Detail ausdiskutiert... Respekt!
Damit beantwortet sich auch meine ursprüngliche Frage zur Unsicherheit der Modellierung. Dass falsche Annahmen hier besonders ins Gewicht fallen macht das Modell sinnlos. Da ich die Aufgabe so in alten Universitätsunterlagen gefunden habe dachte ich, die Zahlenwerte seien "passend" gewählt. An meiner (naiven) Modellierung schien es also immerhin nicht zu scheitern.
Vielen Dank und schönes Wochenende! |
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