| Autor |
Nachricht |
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
 NG Verfasst am: 17. Jul 2020 13:09 Titel: Maxwell-Tensor und MHD-Antrieb |
 |
|
Hallo!
Ich bin vor Kurzem auf den ominösen Maxwell-Tensor gestoßen und da ist mir ein Problem eingefallen, an dem ich vor einiger Zeit einmal gearbeitet habe. Nehmen wir einmal an, ich hätte eine Art Kanal mit einem rechteckigen Querschnitt. In eine Richtung fließt eine Stromdichte, die über die gesamte Fläche gleichmäßig verteilt ist. Senkrecht dazu wird ein homogenes Magnetfeld angelegt (siehe Bild). Laut Lorentzkraft müsste ja nun eine Volumenkraft auf die Ladungsverteilung wirken und es müsste eine Art Schub in eine Richtung geben. Das ist ja das Prinzip von magnetohydrodynamischen Antrieben. Ich habe einmal probiert, den Schub über den Maxwell-Tensor zu berechnen, steh aber jetzt etwas auf dem Schlauch. Ich hab als erstes das Magnetfeld eines rechteckigen stromdurchflossenen Leiters analytisch berechnet/abgeschätzt nach Strütt (unter Annahme einer Vakuumpermeabilität). Das heißt ich hab an jedem Punkt meines Rechengebietes jetzt eine Aussage über das induzierte Magnetfeld. Zu den jeweiligen Werten in x-Richtung (siehe Bild) hab ich nun einfach das äußere Magnetfeld addiert. Damit hab ich dann den Maxwell-Tensor aufgestellt. Jetzt steh ich aber vor ein paar Verständnisproblemen. Ich hab jetzt wieder an jedem Punkt des Rechengebietes (ich betrachte nur das Innere des Kanals) eine Aussage über die Spannungen, die in dem jeweiligen Punkt auftreten, richtig? Nun hab ich gelesen, dass die Gesamtkraft auf das Medium, durch das der Strom fließt, gegeben ist durch die Integration des Tensors an den Oberflächen des Rechengebietes. Heißt das, ich muss die Werte des Spannungstensors an den Oberflächen und Austrittsflächen des Kanals hernehmen und diese über die Flächen integrieren und mit dem Normalenvektor der Fläche multiplizieren? Die Gesamtkraft wäre dann die Summe aus allen Kräften? Und müsste sich dann eine Nettokraft in axiale Richtung ergeben?
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Liebe Grüße
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
Folie1.PNG |
| Dateigröße: |
8.32 KB |
| Heruntergeladen: |
132 mal |
|
|
 |
Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985
|
| Frankx Verfasst am: 17. Jul 2020 19:52 Titel: |
|
|
| Zitat: | | Laut Lorentzkraft müsste ja nun eine Volumenkraft auf die Ladungsverteilung wirken und es müsste eine Art Schub in eine Richtung geben. |
Das funktioniert nicht beim üblichen geschlossenem Stromkreislauf, sondern nur mit Ladungsträgern in Medien, die dann ausgestoßen werden.
Beim geschlossenen Stromkreis heben sich die "Schubanteile" in der Summe über den ganzen Leiter auf.
.
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
| NG Verfasst am: 18. Jul 2020 13:37 Titel: |
|
|
|
Aber es werden ja Ladungsträger ausgestoßen - eben durch diese Kraft. Das ist ja wie gesagt das Prinzip von MHD-Antrieben. Man hat zwar einen geschlossenen Stromkreis, weil in dem Kanal Ladungsträger zwischen den Elektroden fließen, auf diese wirkt aber die Lorentzkraft und beschleunigt sowohl Ionen als auch Elektronen in die selbe Richtung.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18164
|
| TomS Verfasst am: 19. Jul 2020 09:23 Titel: Re: Maxwell-Tensor und MHD-Antrieb |
|
|
| NG hat Folgendes geschrieben: | Ich habe einmal probiert, den Schub über den Maxwell-Tensor zu berechnen, steh aber jetzt etwas auf dem Schlauch.
...
Nun hab ich gelesen, dass die Gesamtkraft auf das Medium, durch das der Strom fließt, gegeben ist durch die Integration des Tensors an den Oberflächen des Rechengebietes. |
In welchem Kontext hast du das gelesen?
Der Antrieb funktioniert mittels der Lorentzkraftdichte f auf eine Ladungs- und Stromdichte (rho,j) in einem äußeren elektromagnetischen Feld (E,B)
Nun gilt für die Stromdichte j gerade
mit dem Geschwindigkeitkeitsfeld u. Damit folgt
)
Für homogene elektrische und magnetische Felder sowie ein im Volumen V insgesamt neutrales Plasma
folgt mittels Integration
 = \left( \int_V d^3x \, j \right) \times B )
Diese Annahme ist aufgrund der komplizierten Feldern E, B jedoch kaum realistisch.
Aktuelle Veröffentlichungen findest du unter dem Stichwort MPD, d.h. Magnetoplasmadynamic thruster.
Evtl. hilft dir das hier weiter:
https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-522-space-propulsion-spring-2015/lecture-notes/MIT16_522S15_Lecture19.pdf
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Jul 2020 12:14, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985
|
| Frankx Verfasst am: 20. Jul 2020 08:14 Titel: |
|
|
| Zitat: | | Aber es werden ja Ladungsträger ausgestoßen - eben durch diese Kraft. Das ist ja wie gesagt das Prinzip von MHD-Antrieben. Man hat zwar einen geschlossenen Stromkreis,.... |
Wenn Ladungsträger ausgestoßen werden, sind sie nicht mehr Teil eines geschlossenen Stromkreises.
D.h. man muss sich irgendwo neue Ladungsträger her besorgen. Das funktioniert also mit verschiedenen Medien (Flüssigkeiten, Gase, Plasma) die ionisiert werden (oder schon so vorliegen). Diese Medien müssen demnach entweder in ausreichender Menge mitgeführt (Gas, Plasma), oder aus der Umgebung eingesammelt (Wasser) werden.
Wenn meine Ladungsträger ausschließlich Elektronen im Leiter eines geschlossenen Stromkreises sein sollen, wird nichts ausgestoßen, da die Elektronen im geschlossenem Stromkreis zur Quelle zurückgeführt werden.
Es gibt hier also keine Nettokraft auf das System. Das würde dann auch dem Impulserhaltungssatz widersprechen.
Aus dem Eingangspost geht mir nicht eindeutig hervor, welche Art von Ladungsträgern hier gemeint ist. Ich hatte den Eindruck, es sollten ausschließlich Elektronen (z.B. in einem metallischem Leiter) sein, daher mein Einwand.
.
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
| NG Verfasst am: 20. Jul 2020 09:41 Titel: |
|
|
Danke schon einmal für eure Beiträge!
| Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Aus dem Eingangspost geht mir nicht eindeutig hervor, welche Art von Ladungsträgern hier gemeint ist. Ich hatte den Eindruck, es sollten ausschließlich Elektronen (z.B. in einem metallischem Leiter) sein, daher mein Einwand.
|
|
Absolut richtig! Das hätte ich vielleicht dazu sagen müssen. Ich würde hier z.B. ein Plasma betrachten. Das heißt, dass sowohl Ladungsträger ausgestoßen werden als auch Ladungsträger den Stromkreislauf aufrechterhalten.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | In welchem Kontext hast du das gelesen? |
|
Hier hab ich das gelesen: https://www.researchgate.net/publication/237571083_Simple_Thrust_Formula_for_an_MPD_Thruster_with_Applied_Magnetic_Field_from_Magnetic_Stress_Tensor
Da steht: | Zitat: | the forces acting on plasma are expressed like the flux of the tensor B through the boundary surface
of the volume V representing the thruster. |
Hier wird das Ganze magnetostatisch betrachtet, da die elektrischen Felder in einem Plasma nur sehr nah an den Elektroden vorhanden sind. Ein Großteil des Volumens ist feldfrei. Demnach gilt:
Das kann man über den Maxwell-Tensor (sigma) ausdrücken:
Richtig bis hierhin? Wenn ich jetzt die Stromdichte gegeben hab und das externe Magnetfeld weiß, kann ich doch den Tensor aufstellen und theoretisch (mit Matlab z.B.) entlang der Oberflächen integrieren.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18164
|
| TomS Verfasst am: 20. Jul 2020 12:21 Titel: |
|
|
Wahrscheinlich stehe ich auf dem Schlauch.
Unter dem Maxwellschen Tensor verstehe ich den Feldstärkentensor.
Dein sigma wäre wohl der Leitfähigkeitstensor mit
Wie geht es jetzt weiter?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 20. Jul 2020 12:57 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Unter dem Maxwellschen Tensor verstehe ich den Feldstärkentensor.
|
Ich denke es ist vom Maxwellschen Spannungstensor die Rede.
Wenn ich die Frage richtig verstehe, geht es darum, ob man die gesamte Lorentzkraft auf die Ladungen im Inneren eines Volumens durch das Integral des Spannungstensors über die Oberfläche berechnen kann.
Im Falle statischer Felder geht das ja tatsächlich
\dd V)
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
| NG Verfasst am: 20. Jul 2020 13:08 Titel: |
|
|
Ich meine auch den Feldstärkentensor (oder Maxwellscher Spannungstensor ). Ich hab das nur grad dummerweise sigma genannt... nennen wir den Tensor doch einfach T  Wie gesagt, das elektrische Feld innerhalb des Plasmas ist weitesgehend abgeschirmt. Trotzdem haben wir einen Stromfluss von Anode zu Kathode mit der Stromdichte j. In dem Paper, das ich oben zitiert habe, ersetzt der Autor die Stromdichte durch das induzierte Magnetfeld:
Dann führt er den Spannungstensor folgendermaßen ein:
\times \vec{B} )
\times\vec{B} = \nabla \cdot T - \frac{1}{\mu} \vec{B}\nabla\cdot \vec{B} )
Mit  kommt er dann auf
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
| NG Verfasst am: 20. Jul 2020 13:11 Titel: |
|
|
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich die Frage richtig verstehe, geht es darum, ob man die gesamte Lorentzkraft auf die Ladungen im Inneren eines Volumens durch das Integral des Spannungstensors über die Oberfläche berechnen kann.
|
Ja, genau! Also letzendlich will ich wissen, wieviel Schub das Triebwerk am Ende hat, wenn ich die Verteilung der Stromdichte und das Magnetfeld kenne.
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
| NG Verfasst am: 31. Jul 2020 16:29 Titel: |
|
|
Ok, also um das Ganze jetzt noch einmal zusammenzufassen. Man kann die auf das Plasma wirkende Kraft darüber berechnen, dass man den Spannungstensor über die Oberflächen des Kontrollvolumens integriert. Das heißt, ich nehme mir den Tensor an der jeweiligen Fläche vor, integrier ihn über die Fläche und krieg dann für jede Fläche einen Kraftvektor. Der Gesamtkraftvektor ist dann einfach die Summe aus allen, richtig? Und die Komponente davon, die in Richtung Lorentzkraft zeigt, könnte man als Schub interpretieren, richtig?
Danke an alle Helfer.
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 31. Jul 2020 19:34 Titel: |
|
|
| NG hat Folgendes geschrieben: | Ok, also um das Ganze jetzt noch einmal zusammenzufassen. Man kann die auf das Plasma wirkende Kraft darüber berechnen, dass man den Spannungstensor über die Oberflächen des Kontrollvolumens integriert. Das heißt, ich nehme mir den Tensor an der jeweiligen Fläche vor, integrier ihn über die Fläche und krieg dann für jede Fläche einen Kraftvektor. Der Gesamtkraftvektor ist dann einfach die Summe aus allen, richtig?
|
Das funktioniert, wenn der Spannungstensor auf jeder einzelnen Fläche konstant ist. [EDIT: Quatsch, stimmt nicht. Das funktioniert natürlich immer. Wichtig ist nur, daß über eine geschlossene Fläche integriert wird.] Ansonsten mußt du über die geschlossene Oberfläche des Volumens integrieren um die Gesamtkraft zu erhalten.
Im allgemeinen ergibt das Flächenintegral über den Spannungstensor den Impulsstrom über die Fläche. Der ist auch vorhanden, wenn einfach freie Teilchen durch die Fläche strömen. Das stellt also ohne weiteres noch keine Kraft dar.
| Zitat: |
Und die Komponente davon, die in Richtung Lorentzkraft zeigt, könnte man als Schub interpretieren, richtig?
|
Das Oberflächenintegral über den Spannungstensor ergibt genau das Volumenintegral über die Lorentzkraftdichte (modulo Vorzeichen, das aus der Orientierung der Fläche kommt).
Welche weiteren Komponenten soll es da geben?
Ich verstehe allerdings nicht, wieso das ganze dann irgendeinen Schub ergeben sollte. Wirken nicht außerhalb des Volumens auch irgendwelche Kräfte?
|
|
|
NG
Anmeldungsdatum: 22.07.2019
Beiträge: 11
|
| NG Verfasst am: 01. Aug 2020 11:50 Titel: |
|
|
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Das funktioniert, wenn der Spannungstensor auf jeder einzelnen Fläche konstant ist. [EDIT: Quatsch, stimmt nicht. Das funktioniert natürlich immer. Wichtig ist nur, daß über eine geschlossene Fläche integriert wird.] Ansonsten mußt du über die geschlossene Oberfläche des Volumens integrieren um die Gesamtkraft zu erhalten.
|
Das heißt, ich kann die 6 Teilflächen des Quaders separat betrachten? Ich würde jetzt halt die Werte des Spannungstensors an der jeweiligen Teilfläche anschauen und über die Fläche integrieren, wobei ich den Tensor noch mit dem Normalvektor (nach außen zeigend) multipliziere. Dann hab ich für jede Teilfläche eine Kraft (mit x-, y- und z-Komponenten). Das addiere ich dann auf und hab den Gesamtkraftvektor.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe allerdings nicht, wieso das ganze dann irgendeinen Schub ergeben sollte. Wirken nicht außerhalb des Volumens auch irgendwelche Kräfte?
|
Du kannst ja auch einfach Gas aus einem Tank ins Vakuum strömen lassen und der Impulsstrom über die Austrittsfläche ist dann dein Schub, siehe Kaltgastriebwerk.
In meinem Fall müsste sich eine positive Gesamtkraft in Richtung des Gasflusses ergeben, die letztendlich die Ladungsträger hinausbeschleunigt. Unter der Annahme, dass keine Kraft (Umgebungsdruck o.Ä.) auf das Plasma von außen einwirkt, ist die Lorentzkraft, die ich so ermittelt hab, dann doch gleich der elektromagnetischen Schubkraft, also der Kraft, die durch Actio=Reactio auf den Kanal wirkt. Stimmt das so? Dazu kommt halt noch der Schub, der durch den Gasfluss, den ich da durchschicke, um das Plasma aufrechtzuerhalten, entsteht. Der interessiert mich hier allerdings nicht wirklich. Ich hoffe, ich drück mich nicht zu umständlich aus...
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 01. Aug 2020 14:09 Titel: |
|
|
| NG hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Das funktioniert, wenn der Spannungstensor auf jeder einzelnen Fläche konstant ist. [EDIT: Quatsch, stimmt nicht. Das funktioniert natürlich immer. Wichtig ist nur, daß über eine geschlossene Fläche integriert wird.] Ansonsten mußt du über die geschlossene Oberfläche des Volumens integrieren um die Gesamtkraft zu erhalten.
|
Das heißt, ich kann die 6 Teilflächen des Quaders separat betrachten? Ich würde jetzt halt die Werte des Spannungstensors an der jeweiligen Teilfläche anschauen und über die Fläche integrieren, wobei ich den Tensor noch mit dem Normalvektor (nach außen zeigend) multipliziere. Dann hab ich für jede Teilfläche eine Kraft (mit x-, y- und z-Komponenten). Das addiere ich dann auf und hab den Gesamtkraftvektor.
|
Ja, das kannst du so machen.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe allerdings nicht, wieso das ganze dann irgendeinen Schub ergeben sollte. Wirken nicht außerhalb des Volumens auch irgendwelche Kräfte?
|
Du kannst ja auch einfach Gas aus einem Tank ins Vakuum strömen lassen und der Impulsstrom über die Austrittsfläche ist dann dein Schub, siehe Kaltgastriebwerk.
In meinem Fall müsste sich eine positive Gesamtkraft in Richtung des Gasflusses ergeben, die letztendlich die Ladungsträger hinausbeschleunigt.
|
Achso, also die Lorentzkraft ist letztlich der Impulsstrom aus dem Fahrzeug hinaus? Ich denke dann leuchtet es mir ein.
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen