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Überlappintegral Zweizentrenproblem
 
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Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 61

Beitrag Apo Verfasst am: 26. Jun 2020 11:45    Titel: Überlappintegral Zweizentrenproblem Antworten mit Zitat

Hallo zusammen,

ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Man berechne das Überlappintegral des Zweizentrenproblems

also für den Fall, dass die Atomwellenfunktionen und jeweils den Grundzustand 1s beschreiben.

Als Hinweis ist genannt, dass elliptische Koordinaten empfohlen werden.
Da das Überlappintegral allgemein berechnet werden sollen, habe ich leider keine Ahnung wie das funktionieren soll. Ich hoffe dass ihr mir helfen könnt smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jun 2020 11:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ich gehe davon aus, es geht um das Problem



wobei beide Zentren um den Abstand d gegeneinander verschoben sind.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 61

Beitrag Apo Verfasst am: 26. Jun 2020 12:00    Titel: Antworten mit Zitat

Könntest du das bitte etwas ausführlicher erklären? smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jun 2020 14:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ich befürchte, du musst das erklären; ich weiß nicht, was du rechnen musst ;-)

In deinem ersten Integral stehen keine Koordinaten. Ich gehe davon aus, dass du ein zweiatomiges Molekül diskutieren sollst. Beide Einelektronensysteme seien dabei im Grundzustand.

Ich komme deswegen auf ein zweiatomiges Molekül, weil im Falle nur eines Atoms beide Wellenfunktionen bzgl. des selben r vorliegen und man keine besonderen Tricks zur Integration benötigt.

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Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 61

Beitrag Apo Verfasst am: 26. Jun 2020 15:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß ja leider selbst nicht was ich rechnen muss Big Laugh
Das mit dem zweiatomigen Molekül sollte stimmen, im Integral stehen ja auch zwei wellenfunktionen... aber leider war das die gesamte Aufgabe, ohne dass ich weitere Angaben hätte... aber schön, dass ich nicht der einzige bin der etwas überfragt ist...
Ich mein, ohne nähere Angaben zu dem Molekül weiß ich ja nicht was die Wellenfunktionen sind und kann deswegen auch nichts ins Integral einsetzen... und was ich dann mit den elliptischen Koordinaten anfangen sollen, ist mir schleierhaft..? grübelnd
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jun 2020 15:28    Titel: Antworten mit Zitat

Also wenn‘s ein zweiatomiges Molekül ist, dann ist alles klar. Die Wellenfunktionen sind ja mit 1s explizit bekannt.

Wenn du unter ‚zweiatomiges Molekül‘ und ‚Überlappintegral‘ googelst, dann findest du auch, wozu das gut ist.

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Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 61

Beitrag Apo Verfasst am: 26. Jun 2020 15:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube mir fehlt irgendwie der entscheidende Gedanke... warum sind die Wellenfunktionen mit 1s explizit bekannt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jun 2020 19:05    Titel: Antworten mit Zitat

1s entspricht n,l,m = 1,0,0

Rest siehe hier https://de.m.wikipedia.org/wiki/Wasserstoffatom#Mathematische_Details

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Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 61

Beitrag Apo Verfasst am: 27. Jun 2020 07:52    Titel: Antworten mit Zitat

Und diese Wellenfunktionen gelten tatsächlich für alle zweiatomigen Moleküle? Ich kannte diese Funktionen bisher nur mit Z=1 für das H-Atom.
Aber dann weiß ich vermutlich was ich machen muss, vielen Dank!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 27. Jun 2020 10:30    Titel: Antworten mit Zitat

Apo hat Folgendes geschrieben:
Und diese Wellenfunktionen gelten tatsächlich für alle zweiatomigen Moleküle? Ich kannte diese Funktionen bisher nur mit Z=1 für das H-Atom.

Diese Wellenfunktionen gelten für Ein-Elektronsysteme mit beliebiger Kernladungszahl Z.

Sie gelten in teilweise recht guter Näherung für ein einzelnes Valenzelektron in Mehr-Elektronsystemen wie z.B. Alkalimetallen (dann natürlich nicht für 1s, sondern 2s, 3s, ...).

Sie gelten natürlich nicht wirklich für mehratomige Moleküle, werden dort jedoch im Rahmen von Näherungen verwendet.

Zunächst separiert man die Bewegung der leichten Elektronen von der der schweren Kernen im Rahmen der Born-Oppenheimer-Näherung:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Born%E2%80%93Oppenheimer_approximation

Dann nähert man die Gesamtwellenfunktion für das Mehr-Elektronsystem als Linearkombination einzelner, bekannter Atomwellenfunktionen der Ein-Elektronsysteme; das ist die sogenannte Linear combination of atomic orbitals:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Linear_combination_of_atomic_orbitals

(Natürlich ist weder die LCAO exakt, noch die Verwendung der Atomwellenfunktionen der Ein-Elektronsysteme)

Die generelle Methode, die Gesamtwellenfunktion für Mehr-Elektronsysteme mittels bekannter Ein-Elektron-Wellenfunktionen anzunähern, ist als Hartree-Fock-Methode bekannt:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hartree%E2%80%93Fock_method

Wie man an den Namen unschwer erkennt, sind die Methoden nicht mehr ganz taufrisch; inzwischen stehen natürlich deutlich bessere Berechnungsmethoden zur Verfügung. Trotzdem ist es m.E. sinnvoll, die gesamte Vorgehensweise zu verstehen, da sie viele Methoden der Quantenmechanik zusammenbringt - und nicht nur ein Integral zu berechnen, ohne zu wissen, wozu ;-)

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Jun 2020 12:04, insgesamt einmal bearbeitet
Apo



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Beiträge: 61

Beitrag Apo Verfasst am: 27. Jun 2020 11:35    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt ist mir das alles endlich klar, vielen Dank für die Hilfe! smile
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