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Ortseigenwertgleichung und Fourier-Transformation
 
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JumpingJoke
Gast





Beitrag JumpingJoke Verfasst am: 07. Mai 2020 04:23    Titel: Ortseigenwertgleichung und Fourier-Transformation Antworten mit Zitat

Hallo,

ich habe in der Literatur folgendes gefunden.


















Mir ist nicht ganz klar, warum die letzte Gleichung offensichtlich gilt. Sieht mir sehr nach Fourier-Transformation aus.

Könnte mir einer verständlich erläutern wie ich Auf die letzte Gleichung schließe, bzw. was diese genau aussagt. Sehr verwirrend das ganze.

Danke!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12408

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Mai 2020 07:19    Titel: Re: Ortseigendwertgleichung und Fourier Transformation Antworten mit Zitat

Zunächst mal ist das eine mathematische Identität, letztlich die definierende Eigenschaft der delta-Distribution:



Der erste Term steht für die Entwicklung eines Hilbertraumvektors nach einer verallgemeinerten, kontinuierlichen Basis mit den Koeffizienten bzgl. dieser Basis.

Ganz allgemein wäre dies



mit der Basis , den Koeffizienten und dem Hilbertraumvektor .

Nun kannst du beliebige Basen wählen, z.B. die Ortseigenfunktionen



oder die Impulseigenfunktionen



Im zweiten Fall liefert dies gerade die Fourierdarstellung mit den Fourierkoeffizienten .

Im ersten Fall - der Ortsdarstellung mit Ortseigenfunktionen - liegt der Spezialfall vor, dass die Koeffizienten und der eigentliche Hilbertraumvektor übereinstimmen.

Es handelt sich im Allgemeinen jedoch um unterschiedliche Objekte. Beispiel aus der linearen Algebra:



Die Koeffizienten sind etwas anderes als der Vektor .

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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