Exponentielles Wachstum "mit Vorgängern"

Dreckidei · Anmeldungsdatum: 27.04.2016 Beiträge: 19 Wohnort: Bayern

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich komme gerade nicht auf die Lösung folgendes Problems.

Annahme: Ein Kranker steckt nach einer Zeiteinheit x immer genau 2 Weitere an. Diese stecken, wieder nach einer Zeiteinheit x 2 Weitere an und so weiter. Ein Kranker wird nicht mehr gesund. So kommen in jedem Schritt immer 2^x neue Kranke dazu. Die gesamt Anzahl wird sich aber nach N=2*2^(x)+1 berechnen.
Da bin ich noch von selbst drauf gekommen.
Allerdings wenn ich annehme, dass jeder Kranke 3 weitere ansteckt komme ich auf keine Formel die das erklärt...

Meine Ideen:
Das ganze kann man sich auch als Baumdiagramm vorstellen bei der die Anzahl der "Knoten" gesucht wird.
Wie lautet die allgemeine Formel für beliebige "Ansteckraten"?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Hallo,

bist Du sicher, dass Deine Formel stimmt?
Wenn wir zum Zeitpunkt x=0 mit nur einem Kranken starten, dann gibt es zum Zeitpunkt x=1 ja 3 Kranke, da der eine Kranke zwei Weitere angesteckt hat. Geben wir X=1 in Deine Formel ein, kommt aber N=2*2^(1)+1 = 5 heraus.

Ich würde es so betrachten: Nach je einer Zeiteinheit x verdreifacht sich die Zahl der Erkrankten, denn jeder Kranke steckt zwei Weitere an, und die bereits Erkrankten werden nicht wieder gesund.
Die korrekte Formel würde also lauten:

Mit

= Zahl der Erkrankten zum Zeitpunkt x=0

Wenn jeder Kranke nach der Zeiteinheit x 3 weitere Personen ansteckt, dann eben:

Dreckidei · Anmeldungsdatum: 27.04.2016 Beiträge: 19 Wohnort: Bayern

Hallo,

sry, habe mich verschrieben. Es soll wie folgt heißen:

N = 2 * 2^x - 1

Deine Formel ist leider falsch. Hier mal die Werte die raus kommen müssen:

Für Übertragungsfaktor 2: (Hier stimmt meine Formel)

N x
1 0
3 1
7 2
15 3
31 4

Für Übertragungsfaktor 3:

N x
1 0
4 1
13 2
40 3
121 4

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Der Unterschied besteht in diesem Detail:

Dreckidei · Anmeldungsdatum: 27.04.2016 Beiträge: 19 Wohnort: Bayern

Ach, so meint ihr das. Das ist ja recht einfach zu rechnen.
Ich gehe aber davon aus, dass die Leute welche erkrankt sind und einmal die anderen anstecken durften, sofort in Quarantäne. In anderen Worten, welche Folge beschreibt diese Zahlen? Oder geht das nur mit ner rekursiven Vorschrift...?

N x
1 0
4 1
13 2
40 3
121 4
363 5
1092 6

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Damit [die zu k-1 Neuinfizierten stecken zu k jeweils zwei neue an, die zuvor Erkrankten bleiben krank, sind jedoch nicht mehr ansteckend] gilt zunächst für die Anzahl der im k-ten Schritt neu Infizierten

Die Anzahl der insgesamt Infizierten folgt als Summe

Für die neu Infizierten gilt

k: n
0: 1
1: 2
2: 4
3: 8
...

Für die insgesamt Infizierten gilt

k: N
0: 1
1: 3
2: 7
3: 8
...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Für eine beliebige Basis r, d.h. bei Ansteckung von r weiteren Personen, gilt

Das ist gerade die k-te Partialsumme der geometrischen Reihe zur Basis r.

Man multipliziert beide Seiten mit r

und subtrahiert die ursprüngliche Partialsumme

wobei alle Terme bis auf zwei wegfallen.

Daraus folgt

Die gilt für beliebige auch nicht ganzzahlige r.