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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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 J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 10:14 Titel: Bewegungsdauer |
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Meine Frage:
Ein Körper durchläuft anfänglich mit konstanter Geschwindigkeit v eine gerade Strecke der Gesamtlänge L = 50 m, ehe er mit konstanter Verzögerung von
a = 0,5 m · s?2 bis zum Stillstand abgebremst wird. Bei welcher Geschwindigkeit v ist die Bewegungsdauer von Beginn der Strecke L bis zum Halten am geringsten? Leiten Sie dazu eine Gleichung für die gesuchte Geschwindigkeit v her!
Meine Ideen:
t= s/(0,5*a))=?(50m/(0,5*0,5m/s²))
t=14,14s
v=a*t
v=0,5m/s²*14,14s
v=7,07m/s
Ich weiß leider nicht, wie ich dazu Gleichungen aufstellen soll. Die Rechnungen sind bestimmt auch fehlerhafte Ansätze.
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 10:41 Titel: |
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Willkommen im Physikerboard!
Bei sowas mach ich immer gerne erst einmal eine Skizze (siehe unten).
Versuch doch daraus mal die Formel für v in Abhängigkeit von t2 aufzustellen, dann sehen wir weiter.
Viele Grüße
Steffen
| Beschreibung: |
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| Dateigröße: |
6.55 KB |
| Angeschaut: |
1512 mal |
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 10:54 Titel: |
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Hallo,
v(t2)=-(0,5-vt1)/v
Richtig?
Mit freundlichen Grüßen
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:09 Titel: |
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Sorry, da hab ich mich falsch ausgedrückt. Die Geschwindigkeit v ist zum Zeitpunkt t2 natürlich Null.
Was ich meinte, war, die Fläche, die ja den 50 Metern entspricht, nur über die Anfangsgeschwindigkeit v und die Bewegungsdauer t2 auszudrücken. Das ist ja in der Grafik die Fläche von Rechteck und Dreieck.
Dann hast Du eine Funktion t2(v), die Du mit der üblichen Methode minimieren musst.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 11:14 Titel: |
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Leider versteh ich das ganze noch nicht. Habe keinen Ansatz dafür. Tut mir leid.
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:18 Titel: |
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Die Fläche eines Rechtecks ist Breite mal Höhe.
Die Fläche eines Dreiecks ist (Breite mal Höhe) durch zwei.
Mach daraus mal eine allgemeine Formel für die Summe der roten und blauen Fläche.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 11:22 Titel: |
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A=v*t1+(v*t2)/2
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:24 Titel: |
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Vorsicht: die Breite des Dreiecks ist nicht t2!
Zuletzt bearbeitet von Steffen Bühler am 07. Nov 2019 11:28, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 11:25 Titel: |
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Stimmt, also:
A=v*t1+v*(t2-t1)/2
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:28 Titel: |
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Richtig.
Und nun überleg, wie man t1 durch t2 ausdrücken kann (siehe die Formel für die Bremsbeschleunigung in der Skizze).
Und danach bedenke, dass die Fläche A ja nichts anderes ist als der zurückgelegte Weg, also die 50 Meter. Denn das zeitliche Integral der Geschwindigkeit ist der Weg.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 11:34 Titel: |
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Man kann ja nicht davon ausgehen, das t2 und t1 gleich sind oder? Dann wäre ja t1*2=t2 falsch.
Oder wie soll ich t1 ausdrücken?
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:36 Titel: |
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Schau Dir mal die Formel an, die ich neben den Pfeil geschrieben habe.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 11:47 Titel: |
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Soll ich diese nach t1 umstellen?
Dann wäre das:
t1=-(v-a*t2)/a
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:52 Titel: |
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Perfekt!
Nun hast Du eine Gesamtformel, in der nur noch t2 und v unbekannt sind. Stell die mal nach t2 um.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 11:54 Titel: |
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t2=(v+a*t1)/a
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 11:56 Titel: |
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Nein, es geht um  und 
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 12:00 Titel: |
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t2=-(v*t1-A(50m)*2)/v
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 12:04 Titel: |
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Das ist noch nicht ganz richtig umgestellt. Und vor allem steht noch t1 drin, das muss eben durch den anderen Term ersetzt werden. Erst dann kann man ja t2(v) nach v ableiten und das Minimum bestimmen.
Mach's mal ganz langsam und konzentriert.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 12:08 Titel: |
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Sorry, den Term von t1 hatte ich erst gesehen, nachdem ich es meine Lösung schon abgeschickt hatte:
Richtig müsste es so aussehen:
t2=-(-1,5v²-A(50m)*0,5)/v
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 12:50 Titel: |
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Du bist nah dran, aber irgendwo ist da was durcheinandergekommen.
Noch mal langsam:
Die zweite Gleichung vereinfache ich mal zu
und setze sie ein:
 +v \cdot \frac {t_2- \left(t_2 - \frac v{0,5 \frac m {s^2}} \right) }2 =50m)
Noch etwas vereinfachen:
Du bist dran.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 13:01 Titel: |
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vereinfacht wäre es dann:
v*t-v²=50
und gelöst:
t2=(50+v²)/v
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 13:35 Titel: |
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Sehr gut! Nun haben wir also die Funktion t2(v) und wollen wissen, bei welchem v die minimal wird. Also...
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 14:26 Titel: |
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Also t2(v) nach v ableiten und dann das Minimum bestimmen?
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 14:47 Titel: |
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Richtig! Was kommt raus?
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 14:51 Titel: |
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Ich muss t2 jetzt nach v umstellen oder?
Also: v= t/50?
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 14:52 Titel: |
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Nein, Du musst t2(v) nach v ableiten, also t2'(v) berechnen. Hast Du das schon mal gemacht?
Zuletzt bearbeitet von Steffen Bühler am 07. Nov 2019 15:01, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 07. Nov 2019 14:53 Titel: |
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Nein, leider noch nicht. Könnten sie mir es erklären?
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 07. Nov 2019 15:01 Titel: |
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Falls Du es bisher nur mit f(x) kennst: =\frac {50+v^2}v \to f(x)=\frac {50+x^2}x \to f'(x) = \dots \to t_2'(v)= \dots )
EDIT: Falls nicht, könntest Du Dir beispielsweise den Graphen ansehen und schauen, an welcher Stelle er den kleinsten Wert aufweist.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Nov 2019 23:16 Titel: |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | ...
Noch mal langsam:
... |
Ich glaube nicht, dass das richtig ist. Jedenfalls sagt die Aufgabenstellung etwas Anderes, nämlich
| Zitat: | | Ein Körper durchläuft anfänglich mit konstanter Geschwindigkeit v eine gerade Strecke der Gesamtlänge L = 50 m, ehe er ... bis zum Stillstand abgebremst wird. |
Das heißt, nur der erste Term v*t1 ist gleich 50m. Danach wird er abgebremst.
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 08. Nov 2019 08:33 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Ein Körper durchläuft anfänglich mit konstanter Geschwindigkeit v eine gerade Strecke der Gesamtlänge L = 50 m, ehe er ... bis zum Stillstand abgebremst wird. |
Das heißt, nur der erste Term v*t1 ist gleich 50m. Danach wird er abgebremst. |
Hm, Du könntest recht haben. Was mich dabei irritiert, ist der Begriff "Gesamtlänge". Warum "gesamt", wenn er da einfach durchläuft?
Daher glaube ich, dass das "ehe" sich darauf bezieht, dass er "anfänglich" eine konstante Geschwindigkeit hat, "ehe" er abbremst und zum Schluss eben die Gesamtstrecke durchlaufen hat.
Aber beantworten kann das nur der Aufgabensteller, der etwas schludrig formuliert hat. Einstweilen wäre es eine nette Fleißarbeit für J03, den zweiten Fall zu berechnen.
Viele Grüße
Steffen
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 08. Nov 2019 08:58 Titel: |
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Leider hab ich die Formulierung der Aufgabe nicht verändert. Diese habe ich genauso wie es im Buch steht.
Ich sehe es auch so, das die Gesamtlänge 50 ist, da er ja anfänglich eine gerade der Strecke der Gesamtlänge von 50m durchläuft.
t2(v) abgeleitet habe ich dazu:
(v²-50)/v²
Wenn das richtig ist, muss ich ja nur noch das Minimum bestimmen.
Die andere Aufgabe, werde ich bald möglichst mal als Übungsaufgabe lösen. Danke.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 08. Nov 2019 09:13 Titel: |
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Minimum ist bei (7,071/14,142)
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 08. Nov 2019 09:32 Titel: |
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Das ist richtig, nun kann man korrekterweise auch wieder die Einheit dranschreiben. Die konnten wir uns beim Rechnen ersparen, weil wir wussten, dass wir ja jeweils die Basiseinheiten verwenden. Also...
Viele Grüße
Steffen
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 08. Nov 2019 09:37 Titel: |
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Also...
(7,071s/14,142m/s)
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 08. Nov 2019 09:45 Titel: |
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Jetzt hast Du die Achsen verwechselt. Es geht doch um die Funktion ) , die Du minimieren willst, also bei welcher Geschwindigkeit  die Zeit  am kürzesten ist.
Dazu hast Du ) bestimmt und nullgesetzt. Dadurch bekommst Du aber die Geschwindigkeit heraus und nicht die Zeit!
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 08. Nov 2019 09:48 Titel: |
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Also m/s.
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 08. Nov 2019 09:51 Titel: |
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... oder, um es mal etwas weniger knapp auszudrücken:
Bei  ist die Bewegungsdauer von Beginn der Strecke L bis zum Halten am geringsten.
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J03
Anmeldungsdatum: 07.11.2019
Beiträge: 19
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| J03 Verfasst am: 08. Nov 2019 09:52 Titel: |
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Jetzt versteh ich. Danke.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 09. Nov 2019 19:16 Titel: |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: |
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Wie kommst du auf  ?
Ich komme auf:
aus:
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7241
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| Steffen Bühler Verfasst am: 09. Nov 2019 19:45 Titel: |
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Ich brauchte etwas, bis ich verstanden habe, dass Dein a keine Beschleunigung, sondern die Gesamtfläche A sein soll.
Es geht darum, dass wir zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten brauchen. Du hast die erste nur nach t1 umgestellt. Wenn Du sie dann einsetzt, bekommst Du nach Umformen lediglich A=A, kommst also nicht weiter.
Die zweite Gleichung aber enthält eine neue Information, nämlich die Bremsbeschleunigung. Sie entsteht, wie geschrieben, aus dem Steigungsdreieck, ich habe das ja in der Skizze dazugeschrieben.
Viele Grüße
Steffen
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