Torsionsschwinger (mit Wellenträgheitsmoment)

woodstock · Anmeldungsdatum: 03.08.2019 Beiträge: 2

Hallo,

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich stehe vor folgendem Problem:

Es soll ein möglichst realitätsnahes Modell eines Antriebsstrangs (Mehrkörper-Torsionsschwinger) simuliert werden. Mir wurde eine Skizze des kompletten Antriebsstrangs gegeben, in dem sämtliche Trägheitsmomente diskreter Einzelmassen gegeben sind. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen an jeder Einzelmasse stellt kein Problem dar. Siehe Bild 1:

http://www.image24.net/uploads/31ee51ffc2z_massenschwinger.png

hierin sind:
- J die Trägheitsmomente der Massen
- Phi die Drehwinkel und "Phi zwei punkt" die
Winkelbeschleunigungen
- C die Steifigkeit der Welle
- M1 ein antreibendes Drehmoment
- M2 ein Gegenmoment

Jetzt ist in diesem Antriebsstrang aber eine Torsionswelle enthalten, deren Trägheitsmoment angegeben ist. Siehe nächste Bild. Zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen habe ich jetzt zunächst einfach mal die Trägheit der Welle "quasi zentriert" in der Mitte der Welle angenommen.

http://www.image24.net/uploads/b7a98b0be5z_massenschwinger_mit_wellenträgheit.png

Dies führt dann zu einer weiteren Differentialgleichung, die mir allerdings sehr fragwürdig vorkommt. (Unter anderem weil: Unter der Annahme, dass sich, wegen C= const., der Winkel Phi2 als arithmetisches Mittel aus Phi1 und Phi3 ergibt, würde die neue Gleichung zu 0 werden) <- Ob diese Annahme richtig ist weiß ich allerdings nicht.

Nachdem ich nun etliche Literatur durchsucht habe bin ich zuletzt auf [Magnus, K.; Popp, K.; Sextro, W.: Schwingungen - Grundlagen - Modelle - Beispiele] gestoßen. Dort wird in Kapitel 7.1.1.3 die Drehschwingung eines (massebehafteten) Torsionsstabes hergeleitet.

Leider ist mir auch nach mehrmaligem Durchlesen nicht wirklich klar, wie das Vorgehen nun auf mein Problem übertragbar ist.

Meine Frage ist nun also: Wie muss das Wellenträgheitsmoment einer Torsionswelle beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen berücksichtigt werden? Muss es überhaupt berücksichtigt werden, oder spielt es für das Schwingungsverhalten der Torsionswelle gar keine Rolle? Falls diese Fragen schon zu detailliert sein sollten, wäre ich auch für Literaturvorschläge dankbar in denen die Problematik ganz einfach erklärt ist.

Vielen Dank schon einmal für eure Antworten!

Grüße!

woodstock

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5880 Wohnort: jwd

Aus der DGL für die Torsionsschwingung einer Welle

ist ersichtlich, dass das polare Trägheitsmoment der Welle berücksichtigt werden muss.

War das Deine Frage?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Ich denke, es geht nicht darum. Diese Schwingungsgleichung hat woodstock ja bereits hingeschrieben. Das Problem liegt darin, dass die Torsionswelle selber massenbehaftet ist und damit ein Massenträgheitsmoment hat. Das wird einiges komplizierter und kann nur mithilfe der Kontinuumsmechanik gelöst werden. Es verhält sich ähnlich wie bei einer schwingenden, massenbehafteten Feder, nur dass die vorliegende Anordnung komplexer ist.

PS: Das Trägheitsmoment in der obigen Schwingungsgleichung ist nicht das Trägheitsmoment der Welle selbst, sondern das Massenträgheitsmoment (nicht Flächenträgheitsmoment), das an der Welle hängt.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5880 Wohnort: jwd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

woodstock · Anmeldungsdatum: 03.08.2019 Beiträge: 2

Ja, Myon's Vermutung ist richtig. Im Grunde frage ich mich wie man eine Bewegungsgleichung an einem Element des Antriebsstrangs aufstellt ohne Vorher eine "Diskretisierung" zu machen: "Dies ist eine starre, Träge Schwungmasse und dies eine Torsionswelle". Aber ich setz nochmal ganz weit vorne an:
Sagen wir man verbindet eine große Schwungmasse (mit großem Trägheitsmoment) über eine Kupplung mit einer Torsionswelle geringer Steifigkeit. (Wenn gewünscht mach ich davon auch nochmal eine Skizze.

Jetzt würde ich die Masse als starr ansehen, sie freischneiden und meine Bewegungsgleichung an ihr aufstellen. Da die Torsionswelle nur eine geringe radiale Ausdehnung hat und eine geringe Steifigkeit wird sie nicht als träge Masse betrachtet.
Kommen wir aber nun zur Kupplung: Was ist, wenn diese ein Trägheitsmoment hat, das zwischen dem der großen Schwungmasse und der der Torsionswelle liegt und deren Steifigkeit ebenfalls ziemlich genau mittig zwischen der als starr angenommenen Schwungmasse liegt? Als was soll diese Kupplung modelliert werden? Als starre Masse die träge ist, oder als Torsionswelle?

Gruß

woodstock

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5880 Wohnort: jwd

Hat mir keine Ruhe gelassen.

Energiebetrachtung

Potentielle Energie der verdrehten Welle

G = Schubmodul
l = Länge der Welle

Kinetische Energie der verdrehten Welle

EES

Hilft Dir das weiter?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Die Energieerhaltung verlangt, dass während der Schwingung gilt Ekin+Epot=const. Ich denke, das führt hier aber nicht weiter, denn es interessieren wahrscheinlich die zeitlichen Verläufe

.

Ginge es um eine einzelne schwingende Welle, so erhielte man eine partielle Differentialgleichung, deren Lösungen man in vielen Büchern und Skripten findet. Das geht wie erwähnt analog zum Fall einer massenbehafteten Feder.
Hier aber liegen auf beiden Seiten der Welle noch schwingende Massen, an denen wiederum Drehmomente angreifen. Ob die Drehmomente zeitlich konstant sind oder auch noch varieren, ist nicht klar.