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Symmetrisierungsoperatoren
 
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YoungsterPhysician



Anmeldungsdatum: 02.01.2017
Beiträge: 23
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Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 25. Jul 2018 15:28    Titel: Symmetrisierungsoperatoren Antworten mit Zitat

Hallo,

beim Lernen für meine QM-Klausur bin ich gerade auf ein Problem in der Vielteilchentheorie gestoßen, was ich auch bei mehrmaligem Durchdenken/-rechnen nicht lösen konnte.
Wir haben die Symmetrisierungsoperatoren wie folgt definiert:

Analog der Antisymmetrisierungsoperator für Fermionen:

Hierbei ist S der Symmetrisierungsoperator, A der Antisymmetrisierungsoperator für den N-Teilchenzustand, der aus Tensorprodukten der Einteilchenzustände gebildet wird. P sind alle Permutationen, p die Parität der jeweiligen Permutation.

In unserem Skript sowie meinen Büchern steht nun, dass S & A Projektionsoperatoren sind, welche in disjunkt, orthogonale Unterräume projezieren, was man einfach beweisen könne. Dies wollte ich nun nachprüfen, komme allerdings nicht weiter.
Zunächst muss ich ja zeigen:

Die ersten beiden Gleichungen sind Bedingungen für eine Projektion, die zweite Bedingung soll zeigen, dass die Unterräume orthogonal sind.

Meine Ideen:

Ich habe das Gefühl, dass ich auf Ebene der Permutation bzw auf Ebene der Transpositionen etwas zeigen kann, allerdings fehlt mir hier das mathematische Wissen und eine Googlesuche hat leider nicht viel Ertrag gebracht.
Vielleicht wisst ihr ja weiter smile
Vielen Dank vorab
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jul 2018 23:23    Titel: Antworten mit Zitat

Ich würde mal wie folgt beginnen:







wobei E_ij im ket die i-te mit der j-ten Position vertauscht.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
YoungsterPhysician



Anmeldungsdatum: 02.01.2017
Beiträge: 23
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Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 26. Jul 2018 12:08    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für den Denkanstoß.
Dann lege ich mal los:
Meine erste Intuition wäre mir, dass Verhalten von S bei Multiplikation mit Permutation anzuschauen. Ich schaue mir zunächst S an, weil ich hier nicht auf Parität und Vorzeichen achten muss:



Die Idee hierbei ist, dass eine weitere Vertauschung die Summe über alle Permutationen ja nicht ändern sollte, oder?
Dann schaue ich mir eine allgemeine Permutation an:



Jetzt muss ich für S*S aufpassen, da ich ja zwei Summen betrachte:



Das letzte Gleich kann ich wieder anwenden, weil ja N! Permutationen für N-Teilchenzustände und ich vorher gezeigt habe dass, das Produkt von Permutation wieder eine Permutation ist.

Bist du soweit einverstanden?
Für A sollte das analog funktionieren, wobei ich auf das Vorzeichen und die Parität aufpassen muss.
YoungsterPhysician



Anmeldungsdatum: 02.01.2017
Beiträge: 23
Wohnort: Frankfurt

Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 30. Jul 2018 10:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

also ich denke die Projektionseigenschaft konnte ich zeigen.
Nur die Eigenschaft für orthogonale Unterräume sind mit diesen Definitionen nicht zu zeigen oder?
Muss ich dafür Permutationen ausschreiben?

Vielen Dank und LG
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