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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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 MM95 Verfasst am: 26. Jun 2018 11:06 Titel: Messwahrscheinlichkeit eines Eigenwertes |
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Hallo,
Die Aufgabe:
Es sein ein Operator A mit den 2 normierten Eigenfunktionen  und  mit den Eigenwerten  und  und ein Operator B mit den normierten Eigenfunktionen  und  und den Eigenwerten  und  gegeben.
und hängen von und ab.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit messe ich  und ??
Ich habe keine Idee...
Gruß |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jun 2018 12:44 Titel: |
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So wie die Frage gestellt ist, ist sie sinnlos. Du gibst am besten den Originaltext wörtlich wieder. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 26. Jun 2018 13:47 Titel: |
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Zwischen den Eigenfunktionen besteht die Beziehung
\phi_1 = (2*X_1+3*X_2)/ \sqrt{13}
\phi_2 = (2*X_1-3*X_2)/ \sqrt{13}
Nach dem Messen der Observablen \alpha (entspricht dem Operator A)
findet man . Nun wird die Observable  gemessen. Mit welcher wahrscheinlichkeit misst man bzw ? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jun 2018 14:01 Titel: |
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Die Frage geht davon aus, daß nach der Messung des Eigenwertes sich das System im zugehörigen Eigenzustand befindet. (Zum Beispiel durch geeignetes Filtern der -Ergebnisse.) An diesem Zustand wird nun also die folgende -Messung vorgenommen. Hier mußt du nur die Bornsche Regel anwenden. Sagt dir das etwas? |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 26. Jun 2018 14:38 Titel: |
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Daß die Wahrscheinlichkeit hier das Betragsquadrat also \cdot \psi^*(r,t)) ist? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jun 2018 15:33 Titel: |
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Das ist die Wahrscheinlichkeit (eigentlich deren Dichte) dafür, bei einer Ortsmessung den Wert r zu erhalten. Hier geht es aber um eine -Messung.
Allgemein besagt die Bornsche Regel, daß
die Amplitude der Wahrscheinlichkeit für den Meßwert  im Zustand  ist, wenn  der zugehörige nichtentartete Eigenzustand ist. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 26. Jun 2018 19:26 Titel: |
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Mhm ok also benötige ich das Skalarprodukt  \right>) ?
Aber wie rechne ich das aus? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Jun 2018 20:28 Titel: |
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| MM95 hat Folgendes geschrieben: | Mhm ok also benötige ich das Skalarprodukt ?
Aber wie rechne ich das aus? |
Vergiß doch mal kurz die Ortswellenfunktion ) . Die hat in der Aufgabe absolut nichts verloren.
Nochmal von vorn: Du hast irgendeinen Zustand . Du möchtest wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, in diesem Zustand den Wert einer Observable zu messen.
Die Quantenmechanik sagt nun: Wenn es zu genau einen Eigenzustand, sagen wir , gibt, dann ist die Amplitude der gesuchten Wahrscheinlichkeit
Jetzt mußt du nur noch das richtige einsetzen. Welches ist das? |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 27. Jun 2018 11:12 Titel: |
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Der Erwartungswert der Observable? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2018 11:40 Titel: |
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Hallo MM95,
so funktioniert das nicht.
Du hast meiner Meinung nach die Grundagen nicht verstanden.
Was ist ein Zustand? Was ist eine Wellenfunktion? Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, ein System bei Vorliegen eines bestimmten Zustandes in einem anderen Zielzustand zu messen? Wie berechnet man den Erwartungswert für eine Observable in einem bestimmten Zustand? Wie hängen beide Fragen zusammen - Stichwort Projektor auf einen Zustand?
Damit musst du dich befassen. Es ist nicht sinnvoll, dass wir hier scheibchenweise herausfinden, was du weißt und was du nicht weißt.
Gruß
Thomas
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 27. Jun 2018 20:31 Titel: |
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Also die Wahrscheinlichkeitsamplitude für einen Zustand welcher im Zustand  enthalten ist, beträgt
\psi(\vec{r}) \ \dd^3 r = \left< \phi | \psi \right> )
Der Erwartungswert einer Observablen
 A \psi^*(x) \, \dd x)
"Stichwort Projektor auf einen Zustand? "
Ich denke, daß du die Projektion von auf meinst?
Also ist der Erwartungswert mein in
 ? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 27. Jun 2018 21:31 Titel: |
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Das geht doch alles vollkommen drunter und drüber. Im ersten Satz ist ein Zustand und im letzten plötzlich ein Erwartungswert?
Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie wir jetzt weiter machen sollen. Wo kommt die Aufgabe her -- aus einem Buch oder Übung zur Vorlesung? Dir scheint völlig der Kontext zu fehlen, in dem die Aufgabe gestellt ist. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 27. Jun 2018 22:25 Titel: |
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"Vergiß doch mal kurz die Ortswellenfunktion . Die hat in der Aufgabe absolut nichts verloren. "
Von welchem psi ist dann die rede? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 27. Jun 2018 22:38 Titel: |
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Von dem Zustand, an dem die -Messung vorgenommen wird. Oben habe ich dir schon erklärt, welcher Zustand das laut Aufgabe sein soll. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2018 23:10 Titel: |
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Betrachte die Wahrscheinlichkeit, dass bei Vorliegen des Zustandes psi ein Zustand phi gemessen wird
 = |\langle \phi | \psi \rangle|^2)
Nun kannst du unter Verwendung des Projektors auf den Zustand phi
dessen Erwartungswert
betrachten.
Offensichtlich stimmen beide Ergebnisse überein. D.h. die Wahrscheinlichkeit der Messung des Zustandes phi bei Vorliegen des Zustandes psi kann interpretiert werden als Erwartungswert des zugehörigen Projektors (auf diesen Zustandes phi) im Zustand psi.
Ist dir dieser Zusammenhang klar?
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 12:18 Titel: |
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Ja |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 13:13 Titel: |
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heißt das ich berechne
 ? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 18:53 Titel: |
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Kannst du deine Antwort etwas ausführlicher formulieren? Die Aufgabe fragt nach 2 Werten. Wie berechnest du die und wie lautet dein Ergebnis?
Wenn du dir deiner Sache jetzt immer noch nicht sicher bist, wäre es vielleicht hilfreich, wenn du erklärst, was dir an der Formulierung der Bornschen Regel unklar geblieben ist, die ich oben gegeben habe. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 19:12 Titel: |
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die Amplitude der Wahrscheinlichkeit ist für
und für
Die Wahrscheinlichkeit entspräche dann für
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 19:19 Titel: |
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Nein, das ist falsch. Du schreibst einfach Formeln hin ohne zu verstehen, was du tust. Was soll das Integral über x bedeuten? Wieso rechnest du irgendeine Amplitude für aus?
Gehen wir mal Schrittweise vor: An welchem Zustand soll die -Messung durchgeführt werden? |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 19:41 Titel: |
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Man mißt nachdem gemeßen wurde. Also wird die Meßung am ersten Eigenzustand
gemeßen. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 19:53 Titel: |
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Das stimmt. Nun weiter: jetzt sollen wir die Wahrscheinlichkeiten für und in diesem Zustand ausrechnen.
Fangen wir mit an: Was ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Meßwert im Zustand  laut Bornscher Regel? |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 20:13 Titel: |
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Also dann ist der zugehörige Eigenzustand für
 dies müßte entsprechen.
müßte dahingegen dem Ausgangs Eigenzustand
 entsprechen. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 20:20 Titel: |
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Das klingt soweit korrekt. Was mußt du also rechnen? Und was kommt raus? Viel mehr als Einsetzen ist es nicht. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 20:46 Titel: |
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Es ist per Definition
 \psi_2(x) \, \dd x )
Durch Einsetzen erhalte ich
Ich denke nicht daß das richtig ist |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2018 21:01 Titel: |
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Ich befürchte, du verstehst immer noch nicht, was du da eigtl. schreibst.
Das Integral über dx erhältst du, wenn du das linke Skalarprodukt mittels der Ortsbasis und damit Wellenfunktionen im Ortsraum darstellen willst. Aber in deiner gesamten Aufgabenstellung spielt der Ortsraum überhaupt keine Rolle.
Insbs. hat das X in der Aufgabe nichts mit dem x als Ortskoordinate zu tun.
In deiner zweiten Formel geht es mit Klammer <>[]... völlig durcheinander; was soll das sein?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Jun 2018 21:03, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 21:02 Titel: |
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Das hat keinen Sinn. Selbst wenn bei dieser wahllosen Permutation von Formelzeichen jetzt das richtige Ergebnis herausgekommen wäre, hättest du immer noch keine Ahnung was du da gerechnet hast.
Woher kommt die Aufgabe? Aus einem Buch oder Skript? Was du benötigst ist eine systematische Erklärung der Grundlagen der Quantenmechanik von Anfang an -- Hilberträume, Dirac-Notation, Bornsche Regel etc. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 21:11 Titel: |
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Dies ist eine Übungsaufgabe zur VL.
Ich habe für 
 gesetzt |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 21:14 Titel: |
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Wie ich das nun ausrechne weiß ich nicht. Ich dachte, daß wegen besagter Definition hier analog gerechnet würde. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 21:30 Titel: |
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Und wieso weißt du nicht, wie man ein Produkt von zwei Hilbertraum-Vektoren in der gegebenen -Basis ausrechnet? Ich kann mir kaum etwas grundlegenderes vorstellen, was in der Vorlesung zur QM behandelt worden sein könnte.
Du hast zwei Vektoren in einer Orthonormalbasis, die du multiplizieren mußt. Was genau verstehst du nicht? |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 21:43 Titel: |
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Ich weiß nicht was die Komponenten meiner Vektoren sind.
wird es kaum sein. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 21:45 Titel: |
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Ich weiß das Bras und Kets Zuständen entsprechen bzw soetwas wie Vektoren darstellen sollen. Aber wie ich damit rechne nicht. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 21:45 Titel: |
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Die Komponenten bzgl der -Basis hast du oben selbst hingeschrieben:
| MM95 hat Folgendes geschrieben: | Zwischen den Eigenfunktionen besteht die Beziehung
/ \sqrt{13}\\ \phi_2 = (2\cdot X_1-3\cdot X_2)/ \sqrt{13})
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 21:52 Titel: |
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Also entspricht die Menge der Eigenfunktionen des Eigenwertproblems den Komponenten des Vektors? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 28. Jun 2018 21:59 Titel: |
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| MM95 hat Folgendes geschrieben: | | Also entspricht die Menge der Eigenfunktionen des Eigenwertproblems den Komponenten des Vektors? |
Die Eigenzustände der Observablen bilden in diesem Fall eine Basis des Hilbertraums. Bezüglich dieser Basis sind die beiden Zustände und dargestellt. Dazu sind Basen ja auch da. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2018 22:07 Titel: |
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| MM95 hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß das Bras und Kets Zuständen entsprechen bzw soetwas wie Vektoren darstellen sollen. Aber wie ich damit rechne nicht. |
Ein ket entspricht einem Vektor:
Komponenten folgen mittels Projektion auf Basisvektoren
Umgekehrt kann man die Vektoren mittels Linearkombinationen der Basisvektoren darstellen
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 22:20 Titel: |
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also suche ich  ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2018 23:06 Titel: |
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Was soll das sein?
Kannst du aufhören, irgendwelche Formeln zu raten?
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 28. Jun 2018 23:12 Titel: |
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Ich rate nicht, ich wende die Def. des Skalarprodukts an. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2018 23:21 Titel: |
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Dann müsste da irgendeine Gleichung stehen.
Wie kommst du auf diesen Ausdruck?
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