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Obi2
Anmeldungsdatum: 25.06.2018
Beiträge: 1
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 Obi2 Verfasst am: 25. Jun 2018 09:03 Titel: Schwimmlage eines Holzstabs |
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Meine Frage:
Hallo,
ich sitze momentan an folgendem Problem:
Ein runder Holzstab mit Länge = 1m, Durchmesser = 0,2m und der Dichte = 525  schwimmt im Wasser. Wie tief taucht er bei horizontaler Schwimmlage ein?
Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre, das Volumen durch ein Integral in unendlich Teile aufzuteilen, und dann über die Dichte das zu berechnen.
Sprich: 
Ist der Ansatz korrekt?
Vielen Dank schonmal für die Antworten |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 25. Jun 2018 13:09 Titel: |
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Aus Deinem Integral werde ich nicht ganz schlau. Der Stab liegt ja horizontal im Wasser.
Aus dem Kräftegleichgewicht Auftriebskraft=Gewichtskraft folgt der Anteil a des Volumens des Holzstabs, das im Wasser ist. Oder auch der Anteil der Querschnittsfläche, die unter dem Wasser liegt. Also
^2-x^2}\,\dd x}{\pi (\frac{d}{2})^2})
Der Zähler ist die Querschnittfläche, die bis zur Höhe h unter Wasser liegt. Auf diese Weise lässt sich h aber nicht einfach bestimmen.
Auch die Formel für die Fläche eines Kreissegments kann man wegen  nicht einfach auflösen.
Ich sehe im Moment keinen Weg, h explizit auszurechnen. Es bliebe nur die Möglichkeit, h numerisch auszurechnen. Oder man nutzt eine Näherung für den Sinus, denn da a nur wenig über 0.5 liegt, ist der Kreissegmentwinkel nur wenig kleiner als pi.
Vielleicht weiss ja sonst jemand einen Lösungsweg. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6115
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Jun 2018 18:02 Titel: |
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Auch mit der Näherungslösung für das Kreissegment unter Wasser
y = Eintauchtiefe
führt das zu der unangenehmen Gleichung
^{2} = 0)
die sich meinem Lösungsversuch widersetzt.
Es bleibt wohl nichts anderes übrig, als y numerisch zu bestimmen.
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 25. Jun 2018 18:52 Titel: |
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Die Rechnung von Mathefix habe ich nicht im Detail nachvollzogen, aber das Ergebnis scheint plausibel.
Die Lösung für y ist unabhängig von der Länge des Stabes.
Bleibt zu sagen, dass die horizontale Schwimmlage nicht stabil ist.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6115
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Jun 2018 19:19 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | Die Rechnung von Mathefix habe ich nicht im Detail nachvollzogen, aber das Ergebnis scheint plausibel.
Die Lösung für y ist unabhängig von der Länge des Stabes.
Bleibt zu sagen, dass die horizontale Schwimmlage nicht stabil ist.
. |
Plausibilitätsprüfung:
Die Gewichtskraft des Stabes beträgt 161,72 N.
Bei halber Eintauchtiefe beträgt die Auftriebskraft 154,02 N.
Bei Gleichgewicht muss die Eintauchtiefe etwas grösser als der Radius von 0,1 m sein.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 25. Jun 2018 19:21, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 25. Jun 2018 19:21 Titel: |
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Nein, das Ergebnis ist nicht plausibel. Ich weiss auch nicht, was Mathefix gerechnet hat, aber schon eine Rechnung Handgelenk mal pi sollte einem sagen, dass dieser Wert zu hoch ist. Die Dichte des Holzstabs beträgt ja praktisch die Hälfte des Wassers, weshalb auch ungefähr die Hälfte des Stabs unter Wasser sein muss.
Löst man die Gleichung
)
numerisch, erhält man h=10.39cm. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6115
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Jun 2018 19:47 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Nein, das Ergebnis ist nicht plausibel. Ich weiss auch nicht, was Mathefix gerechnet hat, aber schon eine Rechnung Handgelenk mal pi sollte einem sagen, dass dieser Wert zu hoch ist. Die Dichte des Holzstabs beträgt ja praktisch die Hälfte des Wassers, weshalb auch ungefähr die Hälfte des Stabs unter Wasser sein muss.
Löst man die Gleichung
numerisch, erhält man h=10.39cm. |
Ich habe erwähnt, dass es sich um eine Näherungslösung handelt. Vllt. habe ich mich auch verrechnet.
Man hätte näherungsweise auch so vorgehen können, indem man das geringe zum Restauftrieb erforderliche Volumen direkt oberhalb der halben Eintauchtiefe als Quader betrachtet.
 }{2\cdot \varrho_W } ))
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 25. Jun 2018 19:58, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 25. Jun 2018 19:50 Titel: |
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| Zitat: | | Nein, das Ergebnis ist nicht plausibel. Ich weiss auch nicht, was Mathefix gerechnet hat, aber schon eine Rechnung Handgelenk mal pi sollte einem sagen, dass dieser Wert zu hoch ist. |
Jetzt wo du drauf hinweist, scheint mir der Wert auch ziemlich hoch.
Allerdings komme ich auch nicht auf deine Formel.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 25. Jun 2018 21:43 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe erwähnt, dass es sich um eine Näherungslösung handelt. Vllt. habe ich mich auch verrechnet. |
Numerisch heisst ja nicht Näherungslösung. Man kann in diesem Fall aber eine Näherungslösung finden, die immer noch auf 5 Stellen genau ist, indem man den Sinus um pi herum entwickelt. Man erhält für den Segmentwinkel dann die Gleichung
\quad \Rightarrow \alpha=\frac{39}{40}\pi)
Für die Höhe unter Wasser ergibt sich
\,\mathrm{m}=10.393\,\mathrm{cm})
(diese Stellen stimmen mit der exakten Lösung überein). |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6115
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Jun 2018 21:59 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe erwähnt, dass es sich um eine Näherungslösung handelt. Vllt. habe ich mich auch verrechnet. |
Numerisch heisst ja nicht Näherungslösung. Man kann in diesem Fall aber eine Näherungslösung finden, die immer noch auf 5 Stellen genau ist, indem man den Sinus um pi herum entwickelt. Man erhält für den Segmentwinkel dann die Gleichung
Für die Höhe unter Wasser ergibt sich
(diese Stellen stimmen mit der exakten Lösung überein). |
Ich habe meine erste Lösung nachgeprüft. Ich habe um die Nullstelle ncht fein genug iteriert.
Mit meiner zweiten simplen Formel bin ich für diesen Fall zu einem ähnlich genauen Ergebnis wie Du gekommen
y = 0,1039270
Es hängt nur von der berücksichtigten Stellenzahl pi ab. |
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