Hermite-Polynome, Legendre-Polynome, usw.

Mark_anfaenger · Gast

Meine Frage:
Hi,

ich besuche momentan die Vorlesung "Methoden der mathematischen Physik", wo wir uns zu Beginn mit Fourier-Reihen und der Fouriertransformation beschäftigt haben. Inzwischen sind wir beim Thema "Orthogonale Funktionensysteme" angelangt und ich muss zugeben leider überhaupt nicht zu wissen wieso wir uns damit beschäftigen. Den Nutzen der Fourier-Reihen/Transformation kann ich noch nachvollziehen bzw. haben wir diverse Aufgaben gelöst wo es sich als nützlich erwiesen hat diese Hilfsmittel zur Hand zu haben.

Nun beschäftigen wir uns aber mit diversen Arten von Polynomen (Hermite-, Legendre-) und leider sehe ich überhaupt nicht wieso es Sinn macht zu zeigen, dass z.B. die einzelnen Legendre-Polynome zueinander orthogonal sind. Was bringt mir dieses Wissen und inwiefern sind diese Basen für

besser als die Standardbasis

?

Meine Ideen:
Naja, leider keine...

benruzzer · Anmeldungsdatum: 02.02.2014 Beiträge: 160

Das ist z.B für die Lösung des quantenmechanischen Oszillators und dem Wasserstoffproblem elementar. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist in Basen der Polynome "einfach" anzugeben und hängt hier für jeden Quantenzustand mit diesen Polynomen zusammen. Quantenzustände müssen orthonormiert sein, dh. die Forderungen erfüllen, die du erwähnt hast.
In der x-Basis sind solche Probleme meistens nicht lösbar

APWBDumbledore · Anmeldungsdatum: 24.10.2017 Beiträge: 16

In erster Linie ist man nicht an einer Basis für

interessiert, sondern vor allem an einer ONB z.B. für

oder Ähnlichem interessiert. Solche Funktionen tauchen natürlicherweise auf, wenn man PDEs mit Separationsansatz löst, in der Physik vor allem in der Quantenmechanik (wie benruzzer schon geschrieben hat) und in der Elektro- und Magnetostatik.

Zum Beispiel kann man den Laplace-Operator in sphärischen Polarkoordinaten zerlegen gemäß:

mit

.

Das ist zunächst mal eine mathematische Tatsache. In der Quantenmechanik steht allerdings

für das Drehimpuls-Betragsquadrat (mit

) und

für die kinetische Energie. In der Elektrodynamik taucht der Laplace-Operator in der Poisson-Gleichung auf, L² ist einfach sein Kugelanteil. Die Kugelflächenfunktionen sind eine ONB von

(quadratintegrable Funktionen auf der Sphäre), und zwar gilt

Die Kugelflächenfunktionen wiederum werden über die Legendre-Polynome definiert. Physikalisch bedeutet das, dass

die Winkelabhängigkeit eines Eigenzustands mit Drehimpulsquantenzahl l und Magnetquantenzahl m beschreibt (das ist das, was vielleicht aus der Schule aus dem Chemieunterricht als Orbital bekannt ist).