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Nachricht |
ani1234
Anmeldungsdatum: 09.09.2017
Beiträge: 1
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 ani1234 Verfasst am: 09. Sep 2017 09:06 Titel: Erwartungswert-Quantenstatistik |
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Meine Frage:
Hallo, beim Thema Quantenstatistik bin ich in meinem Skript auf folgende Definition des Erwartungswertes einer Observablen O gestoßen:
}{\sum_{n}^{\infty }|b_n|^2}
<br />
)
, dabei ist  eine Energieeigenfunktion.
Kann mir bitte jemand erklären, was genau dieser Ausdruck bedeutet? Ich versuche ihn die ganze Zeit in die mir vertraute notationsweise zu übersetzen, aber es klappt nicht...
Vielen Dank!
Meine Ideen:
Ich versuche ihn die ganze Zeit in die mir vertraute notationsweise zu übersetzen, aber es klappt nicht... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18056
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| TomS Verfasst am: 09. Sep 2017 09:46 Titel: |
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Das ist sicher keine Definition, sondern folgt aus weiteren Annahmen.
Zunächst eine Frage:
Wird hier der Erwartungswert für einen reinen Zustand diskutiert, d.h. sind die b_n die Koeffizienten der Entwicklung des Zustandes bzgl. einer Basis (Energieeigenzustände)? Wenn ja, warum ist dann die Summe diagonal? Vertauscht O mit H? (nur dann resultiert die einfache Summe über n aus einer doppelten Summe über m,n).
Oder geht es um die Berechnung für einen verallgemeinerten bzw. gemischten Zustand bzw. Dichteoperator, d.h. sind die b_n die Koeffizienten der Entwicklung des Dichteoperators?
Wenn letzteres, bist du mit der Theorie der Dichteoperatoren vertraut? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Sep 2017 11:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Vertauscht O mit H? (nur dann resultiert die einfache Summe über n aus einer doppelten Summe über m,n).
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Auch wenn es sich um einen stationären Zustand  handelt, ist die Summe bzgl. der Energie-Eigenbasis diagonal. (Könnte ja immerhin sein, wenn es um Quantenstatistik geht.) Allerdings ergeben dann m.E. die Entwicklungskoeffizienten  irgendwie wenig Sinn. Ich würde mal vorsichtig tippen, daß die Formel falsch abgeschrieben ist. |
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anii1234
Gast
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| anii1234 Verfasst am: 09. Sep 2017 11:58 Titel: |
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Ich schreib mal den Text aus dem Skript hier genau ab. Es handelt sich um den ersten Absatz zum Kapitel "Quantenstatistik".
"Ein Ensemble ist, aus der Sicht der Quantenmechanik, eine inkohärente Superpostion von Zuständen. In einem solchen Ensemble ist der Erwartungswert einer Observable O gegeben durch..." hier kommt die von mir genannte Formel " wobei eine Eigenfunction von H des Systems ist und im mikrokanonischen Ensemble 
Die Dichtematrix  , die einem gewissen Ensemble entspricht wird definiert durch: =\delta_{mn}|b_n|^2) "
Es handelt sich also um einen gemischten Zustand und bn muss irgendwie dem Dichteoperatorkoeffizienten entsprechen...ich muss dazusagen, dass dieses Skript sehr viele Fehler enthält... |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Sep 2017 12:59 Titel: |
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Ok, das ist im Prinzip so wie ich vermutet hatte. Allerdings stimmt es m.E. nicht ganz wie es im Skript steht.
Fangen wir mal von vorne an. Der Erwartungswert eines Operators  im gemischten Zustand  ist allgemein
=\sum_n (\Phi_n, \rho O\Phi_n) = \sum_{mn}(\Phi_n,\rho \Phi_m)(\Phi_m, O\Phi_n))
Hier bilden die  irgendeine Basis. Im folgenden sei, so wie im Skript, die Energieeigenbasis. Diese Formel stimmt dann, sofern  = 1) . Warum das wichtig ist, erkläre ich weiter unten. Bis auf diese Normierung ist das die Formel, die m.E. hinter dem zitierten Satz im Skript stehen sollte.
Nun weiter: Ein Zustand ändert sich gemäß der von-Neumann-Gleichung
(Das ist im Prinzip die Schrödingergleichung für gemischte Zustände.) Im thermodynamischen Gleichgewicht ist , also folgt aus der von-Neumann-Gleichung die Vertauschbarkeit von mit dem Hamiltonoperator  , was wiederum bedeutet, daß eine gemeinsame Eigenbasis mit besitzt. D.h. es kann in der Form
dargestellt werden, wobei  reelle Zahlen größer null sind, deren Summe eins ist (also wie Wahrscheinlichkeiten). Wenn man dies in die Gleichung oben einsetzt, dann erhält man
(\Phi_k, \Phi_m)(\Phi_m, O\Phi_n)=\sum_{knm}p_k\delta_{nk}\delta_{mk}(\Phi_m,O\Phi_n)=\sum_k p_k(\Phi_k, O\Phi_k))
Das ist im wesentlichen die Diagonalsumme aus dem Skript.
Da ein hermitescher Operator ist, besitzt er reelle Eigenwerte . Da diese größer null sind, kann man sie, wie es offenbar im Skript getan wird, natürlich in der Form
schreiben, wobei  und  beliebige Phasenfaktoren sind. Ich wüßte aber keinen Grund, warum man das tun sollte. Außerdem normiert man normalerweise , so daß
 = \sum_n p_n = 1.)
Sollte man das nicht machen, so muß man für den Erwartungswert die Formel
}{\mathrm{Tr}(\rho)})
verwenden. Daraus ergäbe sich dann die zusätzliche Normierung
im Nenner. |
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aniii1234
Gast
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| aniii1234 Verfasst am: 09. Sep 2017 13:33 Titel: |
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Danke!!!  Alles klar!
Wiesehr so eine andere nicht erklärte Notation verwirren kann XD |
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