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Aurora borealis
Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 6
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 Aurora borealis Verfasst am: 31. Aug 2017 16:22 Titel: Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit |
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Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Quantenmechanik-Aufgabe, bei der ich mich nicht weiterkomme. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte, sie zu verstehen! Die Angabe lautet:
Ein Elektronenstrahl trifft auf eine Potentialbarriere. Für  und  ist das Potential 0, für 0 < x < a beträgt das Potential 4 eV ) . Der einfallende Elektronenstrahl sei durch die Wellenfunktion  = A \cdot e^{i(9,347\cdot 10^9x)}) charakterisiert. Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit  |^2 ) am Ort x = a, wenn die Reflexion an der Potentialstufe bei x = a vernachlässigt werden kann?
Meine Ideen:
Ich würde damit beginnen, A zu berechnen, indem ich die Wellenfunktion im Bereich von 0 bis a auf 1 normiere. Aber ich glaube eigentlich nicht, dass das die richtige Vorgehensweise ist - wenn das Potential außerhalb dieser Grenzen 0 ist, bedeutet es ja nicht, dass die Wellenfunktion dort ebenfalls 0 ist, oder? Falls doch:
\psi(x) \, \dd x = \int_0^a \! A^2 \, \dd x = A^2 \cdot 2 \cdot 10^{-10}=1 -> A=50000)
Dann wäre die Aufenthaltswahrscheinlichkeit:
 |^2 = A^2 = 2,5*10^{9} )
Bin mir aber ziemlich sicher, dass das falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit kann, soweit ich weiß, nicht größer als 1 sein. |
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benruzzer
Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160
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| benruzzer Verfasst am: 31. Aug 2017 19:34 Titel: |
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Bei der Normierung wird grundsätzlich von -unendlich bis + unendlich integriert. Stell dir z.B einen unendlich tiefen Potentialtopf vor: Auch hier wird bei der Normierung von -inf bis +inf integeriert. Die Wellenfunktion ist im unendlichen Potential jedoch 0, sodass man letztendlich nur bis zu den Potentialtopfgrenzen integriert. Die Wellenfunktion kann man hier durch Sprungfunktionen zusammenbasteln.
Zurück zu Frage. Das Potential ist endlich, also ist die Wellenfunktion in der Potentialstufe nicht 0 (sie fällt exponentiell ab). Bei der Normierung musst du über alles integrieren.
Meiner Meinung nach ist jedoch schon die Aufgabenstellung falsch, da das Betragsquadrat der Amplitude bei kontinuierlicher Eigenwertverteilung nur die Wahrscheinlichkeitsdichte und nicht die Wahrscheinlichkeit angibt.
EDIT: Oder die Frage ist als Fangfrage formuliert. Stetige Funktion von a bis a integriert.... |
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Aurora borealis
Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 6
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| Aurora borealis Verfasst am: 01. Sep 2017 13:02 Titel: |
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Aha, das habe ich nicht gewusst, dass man zum Normieren immer über den gesamten Bereich integriert! Aber es macht natürlich Sinn. In dem Fall müsste man dann sagen  , oder?
| Zitat: | | Meiner Meinung nach ist jedoch schon die Aufgabenstellung falsch, da das Betragsquadrat der Amplitude bei kontinuierlicher Eigenwertverteilung nur die Wahrscheinlichkeitsdichte und nicht die Wahrscheinlichkeit angibt. |
Sehr interessant... Dann wäre die Aufgabe gar nicht lösbar, außer wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte auch als Lösung zählen würde. Wäre die dann am Ort a  ? Vielleicht hat derjenige, der die Aufgabe geschrieben hat, das ja einfach schlampig formuliert.
Ich habe noch gar nicht davon gehört, dass zwischen diskreten und kontinuierlichen Eingenwertverteilungen unterschieden wird. Woran hast du denn erkannt, dass die hier kontinuierlich ist? Gibt es überhaupt eine Möglichkeit, hier die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Punkt a zu berechnen? Wenn das eine Fangfrage wäre, wäre das schon sehr gemein, die ist so zu einer Prüfung gekommen...
Herzlichen Dank für deine Hilfe![/quote] |
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benruzzer
Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160
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| benruzzer Verfasst am: 01. Sep 2017 14:34 Titel: |
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Ich hab gestern die Frage leider falsch verstanden. Das was ich geschrieben habe macht Sinn, wenn von x >= 0 bis x <= a das Potential 0 ist und außerhalb das Potential 4eV beträgt. Nur dann ist die Wellenfunktion nämlich normierbar: Im Potential fällt die Wellenfunktion exponentiell ab und auf einen beschränkten Bereich handelt es sich um Ebenewellen (also die "negative" Situation).
Wenn wie hier die Wellenfunktion jedoch von minus unendlich bis 0 ebenen Wellen entspricht, ist diese nicht mehr normierbar (ist auch nicht schlimm, da man ja eigentlich von einem Wellenpaket ausgehen müsste und sich nur gedanken machen muss, ob die WF in einem Wellenpaket normierbar wäre).
Dann ziehlt die Aufgabe meiner Meinung auf den Tunneleffekt ab, sodass man die Wahrscheinlichkeit (bzw. "-dichte") in Abhängigkeit von A angeben soll. (Überlege dir aber zuerst welche Energie die Elektronen haben -> k ist gegeben) |
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Aurora borealis
Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 6
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| Aurora borealis Verfasst am: 01. Sep 2017 16:39 Titel: |
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Kein Problem, ich hab ja trotzdem was dabei gelernt! A kann man also nur dann bestimmen, wenn die Wellenfunktion in keine Richtung unendlich ist?
Die Energie der Elektronen würde ich dann wohl folgendermaßen berechnen:
^2 \cdot (9,347 \cdot 10^9)^2 }{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31}} = 5,33 \cdot 10^{-19} J)
Ist das so richtig?
Aber wozu brauche ich denn die überhaupt? Wenn ich die Wahrscheinlichkeitsdichte als Produkt aus  \cdot \psi(a)) berechne, bleibt doch nur  übrig, da kann ich sie ja gar nicht einbringen...  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 01. Sep 2017 16:46 Titel: |
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A kannst Du nicht berechnen, da wie gesagt diese Wellenfunktion nicht normierbar ist. Das sollst Du in der Aufgabe ignorieren und am Ende Einfach ein A^2 im Ergebnis stehen haben. (Hätte man im Aufgabentext erwähnen sollen.)
Um das ganze bei x=a zu berechnen, musst Du erstmal die Wellenfunktionen in der Potentialbarriere und dahinter berechnen. Dazu musst Du die Stetigkeitsbedingungen der Wellenfunktion, etc ausnutzen. |
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Aurora borealis
Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 6
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| Aurora borealis Verfasst am: 01. Sep 2017 19:15 Titel: |
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Die Wellenfunktionen in der Potentialbarriere und dahinter unterscheiden sich von der des einfallenden Elektronenstrahls nur durch k, oder? Jetzt sehe ich, wo ich die kinetische Energie verwenden kann.
Das Potential in der Barriere beträgt  . Für den Elektronenstrahl darin würde ich dann das erhalten:
^2} } = 1,02 \cdot 10^{10})
_{innen} = A \cdot e^{i(-1,02 \cdot 10^{10}x)})
Und für den Elektronenstrahl dahinter:
}{hquer^2} } =\sqrt{\frac{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \cdot (6,4 \cdot 10^{-19}-5,33 \cdot 10^{-19})}{(\frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{2 \pi})^2} } = 4,19 \cdot 10^{9})
_{dahinter} = A \cdot e^{i(-4,19 \cdot 10^{9}x)})
Muss ich aus diesen beiden nun nur mehr das Produkt bilden, um das Ergebnis zu erhalten? Das käme mir schon merkwürdig vor - sonst habe ich ja immer die Wellenfunktion mit der zu ihr konjugiert komplexen Funktion multiplizieren müssen, um die Wahrscheinlichkeitsdichte zu erhalten. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 01. Sep 2017 19:48 Titel: |
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| Aurora borealis hat Folgendes geschrieben: | | Die Wellenfunktionen in der Potentialbarriere und dahinter unterscheiden sich von der des einfallenden Elektronenstrahls nur durch k, oder? |
Nein (mal davon abgesehen das k Einheiten hat). Die stationäre Schroedinger-Gleichung in diesem Fall ist von zweiter Ordnung und es gibt somit zwei linear unabhängige Lösungen. Die allgemeine Lösung ist also in jedem der drei Bereiche eine Überlagerung von zwei Lösungen (und für x<0, sollst du den einen Teil vernachlässigen laut Aufgabe).
Mit anderen Worten: Du musst nicht einfach nur Werte einsetzen, sondern musst die Schroedingergleichung tatsächlich lösen. |
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benruzzer
Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160
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| benruzzer Verfasst am: 01. Sep 2017 19:52 Titel: |
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Du berechnest den Wellenvektor für ein Elektron, das genau 4eV kinetische Energie hat. Das hat jedoch wenig mit der Aufgabe zu tun.
Mit dem gegebenen k ( ->exp(i*k*x) ) kann man überprüfen, ob der Strahl weniger Energie hat, um klassisch gesehen das Potential zu überwinden (->Tunneleffekt), oder über die Potentialstufe hinwegläuft, was klassisch nur zu einer Verringerung der kin. Energie führt - in der Quantenmechanik jedoch sogar Reflexion bewirkt.
Dann musst du abhänging vom Fall die Wellenfunktion in der Potentialstufe aufstellen, die die Schrödinger Gleichung in dem Bereich erfüllen mit Bedingungen an die Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Vergleiche dazu unzählige andere Beispiele: endlich tiefer Potentialtopf, Deltapotential etc.
Schau dazu am besten mal in der Literatur nach. Für solche Beispielrechnungen kann ich besonders das Buch Quantenmechanik von Schwabl empfehlen. |
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Aurora borealis
Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 6
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| Aurora borealis Verfasst am: 03. Sep 2017 11:54 Titel: |
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Danke vielmals für eure Antworten! Ich bin wohl noch weiter falsch gelegen, als ich zu Beginn gedacht habe... Aber ich habe jetzt etwas mehr über das Thema nachgelesen. Ich glaube, dass ich die Aufgabe jetzt lösen kann!
Ich habe eine Formel gefunden, mit der man das Verhältnis des Betragsquadrat der Wellenfunktion hinter der Potentialbarriere zum Betragsquadrat der Wellenfunktion vor der Potentialbarriere berechnet. Dabei ist x} ) und x} ) . Bei K handelt es sich um den Wellenvektor der Funktion innerhalb der Barriere, also wie zuvor berechnet 
^2 \cdot sinh^2(Ka)}{4k^2K^2} } = \frac{1}{1+\frac{((1,02 \cdot 10^{10})^2+9,347 \cdot 10^9)^2 \cdot sinh^2(1,02 \cdot 10^{10} \cdot 2 \cdot 10^{-10}}{4(9,347 \cdot 10^9)^2(1,02 \cdot 10^{10})^2} } = 0,190 )
War es das, was ihr gemeint habt? Oder hättet ihr an eine Vorgehensweise gedacht, bei der ich die Amplituden der Wellenfunktionen ausrechnen muss? Es tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle, aber die Quantenmechanik liegt mir nicht besonders. Ich bin euch wirklich sehr dankbar für eure Hilfe, auch wenn ich leider nicht alles gleich verstehe. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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Aurora borealis
Anmeldungsdatum: 31.08.2017
Beiträge: 6
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| Aurora borealis Verfasst am: 04. Sep 2017 14:19 Titel: |
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Danke für den Link! Die Formel zur Berechnung der Transmissionswahrscheinlichkeit scheint auf eine ähnliche Weise hergeleitet worden zu sein, wie die, die ich zuvor verwendet habe. Aber es kommen andere Ergebnisse dabei heraus. Ich frage mich, woran ich feststellen kann, welches Ergebnis nun das richtige ist? Die Herleitung der anderen Formel war auch nachvollziehbar für mich... Vielleicht würden ja beide dasselbe ergeben, und ich habe mich einfach vertippt?
Mit der von dieser Seite erhalte ich:
}{4E(E-V_0)-V_0^2sinh( \sqrt{2m(V_0-E)} \frac{a}{hquer} )} = 0,371 ) |
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