| Autor |
Nachricht |
Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 695
Wohnort: Leipzig
|
 Schrödingers Katze Verfasst am: 02. Mai 2006 17:34 Titel: Energieherleitung |
 |
|
Hallo ihrs,
wie leitet man eigentlich die Gleichungen  und  her? Ich hab mir da noch nie Gedanken drüber gemacht, und brauchen tu ichs zum Abi auch nicht, aber mich interessierts trotzdem:
In unserem Physikbuch (Metzler) ist das relativ leicht beschrieben, ohne Integrale - also irgendwie untypisch.
Die sagen zur kinetischen: \cdot \frac{1}{2}at^2) und aus a²t² wird v². Zur Rotationsenergie wird einfach die Summe aller kin. E. genommen, und durch die Aufspaltung  erhalten sie mit dm*r² ihr J.
Jedenfalls sieht das so untypsich zu allen anderen Herleitungen aus, und mich würde mal interessieren, was ihr so kennt.
Mein Vorschlag:  , und zum Rotieren ähnlich.
Danke!
_________________
Masse: m=4kg
Trägheitsmoment: J=  |
|
 |
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 02. Mai 2006 18:30 Titel: |
|
|
Hallo!
Ich glaube, im Prinzip meinst Du das selbe, aber ich würde es so schreiben:
 \cdot \mathrm{d}v = \frac{1}{2} m v_\text{max}^2)
Das, was in Schulbüchern mit der Dreiecksfläche steht ist ja eigentlich gerade das letzte Integral "für Arme".
Mathematisch ist es aber vielleicht nicht ganz einfach, warum man das im 4. Schritt so machen darf. Letztendlich ist das eine Art Substitution, weshalb man auch die Grenzen entsprechend anpassen muß.
Gruß
Marco |
|
|
Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 695
Wohnort: Leipzig
|
| Schrödingers Katze Verfasst am: 02. Mai 2006 20:31 Titel: |
|
|
Da provozierst du mich aber: Wie kann man denn das mathematisch erklären, dass aus s auf einmal v wird? 
edit:
Erst denken, dann schreiben: Wenn man das, wo das d davorsteht (ich wusste sogar mal, wie das heißt - ach, Integrand, glaub ich) austausch, tauscht man die Grenzen mit, ja?
_________________
Masse: m=4kg
Trägheitsmoment: J= |
|
|
sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
|
| sax Verfasst am: 02. Mai 2006 23:40 Titel: |
|
|
Vom Prinzip her schon.
Man kann es auch anders herleiten, starten wir bei der Newtonschen Bewegungsgleichung, der Einfachheit halber nur in einer Dimension, es funktioniert aber mit Vektoren fast genauso.
)
Multiplizieren wir die Gleichung mit  erhalten wir:
 \dot{x})
Jetzt definieren wir eine Größe:
:=-\int_{x0}^x F(x) dx )
(in mehr als einer Dimension wäre der Wert dieses Wegintegrals nur für konserative Kräfte unabhängig vom Weg und nur von den Endpunkten abhängig, in 1D ist eh nur 1 Weg möglich)
Umgekehrt gilt dann:
=-\frac{dW(x)}{dx})
unsere Gleichung läßt sich nun als
}{dx} \dot{x})
schreiben.
Man kann leicht nachrechnen(Kettenregel oder Produktregel) das gilt:
Also haben wir erstmal
}{dx} \dot{x} )
Auf der anderen Steite gilt aber auch(Kettenregel)
}{dt}=\frac{dW(x)}{dx} \frac{dx}{dt} )
Was, bis aufs Vorzeichen, gerade die Rechte Seite unserer Gleichung ist. Eingesetzt gibt dies:
 )
einfaches umstellen gibt:
 \right) =0 )
bzw. durch einfaches integrieren.
 = konst=:E )
Nun wisssen wir das die oben definierte Größe E, nennen wir sie Energie *g*, konstant ist. Den ersten Term nennen wir kinetische Energie, den zweiten Teil potenzielle Energie. Damit hat man den Energieerhaltungssatz für rein mechanische Systeme aus der Newtonschen Bewegungsgleichung hergeleitet. Schick oder ? |
|
|
Xolotl
Anmeldungsdatum: 17.02.2006
Beiträge: 85
|
| Xolotl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:45 Titel: |
|
|
Es gibt ja nicht nur einen Formalismus in der Mechanik sondern mehrere. Man kann die ja zB aus den Newtonschen Gesetzen herleiten oder aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung.
Oder das von hinten rum mit Taylor aus E=mc² zeigen. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen