| Autor |
Nachricht |
Hofmann2
Gast
|
 Hofmann2 Verfasst am: 12. Jun 2017 09:19 Titel: Geophysik: das Geoid |
 |
|
Meine Frage:
(Hoffe die Rubrik 'Astrophysik' liegt nicht komplett daneben)
Guten Morgen,
ich beschäftige mich gerade mit dem Geoid der Erde. Es wird beschrieben als eine Äquipotentialfläche, die durch den mittleren Meeresspiegel gut angenähert ist. Meine Frage lautet: Was bedeutet hier 'Äquipotentialfläche'? Es wird ja nochmal unterschieden zwischen Gravitationspotential (einer Probemasse mit 'Nullpotential im Unendlichen') und Geopotential (Schwerepotential), das sich zusammenbaut aus Gravitationspotential und Zentrifugalpotential, wobei ich mir unter dem letzten Term nicht viel vorstellen kann. Darüber hinaus gilt ja, dass auf dem Geoid die Erdbeschleunigung (Fallbeschleunigung) als Differenz zwischen Gravitations- und Zentrifugalbeschleunigung nicht konstant ist. Demzufolge ist wohl der Ortsfaktor g auch kein Faktor bei der Berechnung Geopotentials, richtig? Welche Größen fließen denn ansonsten ein?
Und ist das Geopotential auf der Erde dann Null oder wie groß ist es?
mit freundlichen Grüßen
Meine Ideen:
siehe oben |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 12. Jun 2017 17:18 Titel: |
|
|
Betrachten wir zunächst mal das Problem ohne Rotation.
Eine inhomogene Massenverteilung, d.h. geometrisch asymmetrisch sowie mit inhomogener Massendichte, führt zu einem inhomogenen Gravitationspotential.
Nun schränken wir auf den kugelsymmetrischen Fall ein.
Das Gravitationspotential Phi einer Punktmasse M oder einer kugelsymmetrischen Massenverteilung (im Außenraum) der Masse M ist gegeben durch
Die potentielle Energie V einer kleinen Testmasse m in diesem Gravitationspotential Phi lautet
Die Feldstärke g des Gravitationsfeldes ist gegeben durch
Die Gravitationskraft F auf eine Testmasse m lautet
Die Feldstärke g, als Gradient eine vektorielle Größe, ist identisch mit der Gravitationsbeschleunigung einer beliebigen Testmasse im Gravitationspotential, deren Betrag |g| als „Ortsfaktor“ bezeichnet wird. Die Feldstärke und damit die Gravitationsbeschleunigung weist an jedem Punkt in Richtung der stärksten Abnahme des Gravitationspotentials. Äquipotentialflächen S sind konzentrische Kugelschalen, auf denen der Feldstärkenvektor senkrecht steht und auf denen das Gravitationspotential einen festen Wert hat:
Die Äquipotentialflächen S für geometrisch asymmetrische Massenverteilungen mit inhomogener Massendichte sind deformierte, jedoch immer noch geschlossene Flächen auf denen das Gravitationspotential einen festen Wert hat. Der Zusammenhang zwischen Gravitationspotential und Feldstärke gilt auch im inhomogenen Fall, d.h. wiederum steht der Feldstärkenvektor senkrecht auf den Äquipotentialflächen und weist in Richtung der stärksten Abnahme des Gravitationspotentials.
Ein Medium wie Wasser würde in einem Gravitationspotential so fließen, dass seine Oberfläche mit einer Äquipotentialfläche zusammenfällt [ich sehe gerade, dass ich Probleme habe, diese trivial anmutende Aussage zu beweisen].
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 12. Jun 2017 19:18 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ein Medium wie Wasser würde in einem Gravitationspotential so fließen, dass seine Oberfläche mit einer Äquipotentialfläche zusammenfällt [ich sehe gerade, dass ich Probleme habe, diese trivial anmutende Aussage zu beweisen]. |
Genügt es nicht, dass Flüssigkeiten nach unten fließen? Das führt zwangsläufig zu einer waagerechten Oberfläche. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 12. Jun 2017 23:46 Titel: |
|
|
Anschaulich ja, aber ich tu' mir damit bei einem unregelmäßigen und inhomogenen Geoid schwer.
Nehmen wir an, der Geodid bestehe aus einem festen unregelmäßigen und inhomogenen Kern sowie einem flüssigen Anteil konstanter Dichte. Die Dichte sei
(tot steht für die gesamte Dichte, core für den Kern)
Der Einfachheit halber sei der gesamte Kern mit der Flüssigkeit bedeckt.
Das Gesamtpotential ergibt sich zu
\,\rho_\text{tot}(y)}{|x-y|} = G \int_{\mathbb{R}^3}d^3x \int_{\mathbb{R}^3}d^3y \frac{(\rho_\text{core}(x) + \varrho)\,(\rho_\text{core}(y) + \varrho)}{|x-y|} )
Gesucht ist
bzw. zu zeigen ist, dass Phi genau dann minimal ist, wenn die Flüssigkeit eine Äquipotentialfläche exakt ausfüllt:
\,\rho_\text{tot}(y)}{|x-y|} )
Dabei gilt jeweils noch die Nebenbedingung, dass das von der Flüssigkeit (jedoch nicht vom Kern) eingenommene Volumen konstant ist; das habe ich nicht notiert.
Ich tue mir schon schwer, das Problem vernünftig hinzuschreiben.
EDIT:
OK, ich denke, man kann wie folgt argumentieren: nehmen wir an, die Flüssigkeit fülle gerade eine Äquipotentialfläche exakt aus; nun nehmen wir ein infinitesimales Volumen der Flüssigkeit und setzen es an eine andere Stelle, die notwendigerweise bzgl. der alten Flüssigkeitsverteilung leer ist und ein höheres Potential hätte. Zu zeigen ist, dass dies auch bzgl. der neuen Flüssigkeitsverteilung zu einem höheren Potential führt.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
|
| Ich Verfasst am: 13. Jun 2017 09:08 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zu zeigen ist, dass dies auch bzgl. der neuen Flüssigkeitsverteilung zu einem höheren Potential führt. |
Da ein infinitesimales Volumen das Potential nicht ändert, ist der Beweis schon fertig. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 13. Jun 2017 11:18 Titel: |
|
|
Ich sehe nicht, dass das so einfach ist.
Rein anschaulich ist das natürlich klar: die Gravitationskraft, die auf ein infinitesimales Volumen dV mit Masse dm wirkt, ist
Das Wasser, d.h. die Masse dm fließt natürlich in diese Richtung des Gradienten; dies ist jedoch nicht möglich, wenn die Gravitationskraft keine Komponente parallel zur Wasseroberfläche hat, d.h. wenn die Gravitationskraft parallel zur Flächennormalen der Wasseroberfläche ist
Ich sehe aber (noch) nicht, wie ich dies als Lösung eines Extremalproblems formulieren kann.
EDIT:
Die o.g. Formulierung ist unvollständig, da man eine gegebene und exakt mit Flüssigkeit gefüllte Äquipotentialfläche als fest betrachtet und anschließend ein kleines Volumen dV mit Masse dm an einer anderen Stelle platziert; da dies notwendigerweise außer- bzw. oberhalb der festen Äquipotentialfläche erfolgen muss, wird die Energie dadurch ansteigen. Tatsächlich ändert sich durch die Neuplatzierung der infinitesimalen Masse dm jedoch auch die Äquipotentialfläche, so dass nicht ohne weiteres klar ist, dass nicht doch eine Verringerung der Energie möglich ist.
Da es sich dabei jedoch um ein sehr abstraktes Probnlem handelt, beende ich diese Diskussion hier und stelle das Problem in einem Matheforum zur Diskussion. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 13. Jun 2017 18:15 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich sehe aber (noch) nicht, wie ich dies als Lösung eines Extremalproblems formulieren kann. |
Ich sehe nicht warum das notwendig ist. Der Geoid wird nicht durch das Minimum der potentiellen Energie, sondern durch die Gleichheit des Potentials auf der gesamten Oberfläche definiert und das ist gleichbedeutend mit der Abwesenheit von Kräften die parallel zu dieser Oberfläche wirken. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 13. Jun 2017 18:47 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich sehe aber (noch) nicht, wie ich dies als Lösung eines Extremalproblems formulieren kann. |
Ich sehe nicht warum das notwendig ist. Der Geoid wird nicht durch das Minimum der potentiellen Energie, sondern durch die Gleichheit des Potentials auf der gesamten Oberfläche definiert und das ist gleichbedeutend mit der Abwesenheit von Kräften die parallel zu dieser Oberfläche wirken. |
Gerade weil aufgrund der Definition auf Basis der Äquipotentialflächen alleine unklar bleibt, ob und wann beide Ansätze äquivalent sind und wann nicht, und was bei nicht-minimaler Energie evtl. gegen den Übergang in den Zustand minimaler Energie spricht, sollte man beide Ansätze in Beziehung setzen.
Außerdem sehe ich nicht, ob und wie man das Extremalproblem überhaupt allgemein formulieren kann. Bei (zugegebenermaßen praktisch irrelevanter) nicht-trivialer Topologie des festen Kerns habe ich überhaupt keinen Ansatz.
Letztlich müsste das aus den Gleichungen der Hydrodynamik für inkompressible, reibungsfreie Flüssigkeiten mit zusätzlichen Randbedingungen (fester Kern) plus Eigengravitation folgen. Und diese sollten eigtl. wieder aus einem Extremalproblem ableitbar sein, wobei das o.g. Problem der statischen Lösung für verschwindende Geschwindigkeit entspricht. Damit wären dann doch beide Ansätze äquivalent. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 13. Jun 2017 20:39 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Gerade weil aufgrund der Definition auf Basis der Äquipotentialflächen alleine unklar bleibt, ob und wann beide Ansätze äquivalent sind und wann nicht, und was bei nicht-minimaler Energie evtl. gegen den Übergang in den Zustand minimaler Energie spricht, sollte man beide Ansätze in Beziehung setzen. |
Das ist aber ein völlig anderes Problem.
PS: Anscheinend sind die Ansätze nicht äquivalent. Ich habe mal kurz mit dem Gravitationspotential einer rotierenden ringförmigen Masseverteilung gespielt und ein dazugehöriges dünnes torusförmiges Geoid berechnet. Theoretisch scheint sowas möglich zu sein, aber es wäre offensichtlich nicht die Verteilung mit der geringsmöglichen potentiellen Energie und völlig instabil.
Damit bleibt noch zu klären, ob ein stabiles hydrodynamisches Gleichgewicht dem Zustand niedrigster Energie entspricht. |
|
|
Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
|
| Ich Verfasst am: 13. Jun 2017 22:04 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Theoretisch scheint sowas möglich zu sein, aber es wäre offensichtlich nicht die Verteilung mit der geringsmöglichen potentiellen Energie und völlig instabil. |
Ich denke nicht, dass das instabil ist, weil du implizit die Zwangsbedingung starrer Rotation auferlegt hast. Instabil wird es erst, wenn du diese Bedingung weglässt, aber dann ist es nicht mehr als Potentialproblem formulierbar. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 14. Jun 2017 18:55 Titel: |
|
|
| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke nicht, dass das instabil ist, weil du implizit die Zwangsbedingung starrer Rotation auferlegt hast. |
Ich habe bei der Berechnung des Kräftegleichgewichtes zwar vorausgesetzt, dass alle Bestandteile im mitrotierenden System ruhen, aber das hat nichts mit starrer Rotation zu tun. Jede noch so kleine Störung kann den Ring veranlassen, dieses Gleichgewicht zu verlassen. Ich gehe davon aus, dass das in der Realität zwangsläufig passieren würde und dass das System dabei aus seinem labilen Anfangszustand spontan in einen stabilen Endzustand mit zwei annähernd kugelförmigen Körpern wechseln wird, die einander umkreisen (wahrscheinlich über Zwischenzustände mit mehr als zwei Körpern). |
|
|
Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
|
| Ich Verfasst am: 14. Jun 2017 20:38 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke nicht, dass das instabil ist, weil du implizit die Zwangsbedingung starrer Rotation auferlegt hast. |
Ich habe bei der Berechnung des Kräftegleichgewichtes zwar vorausgesetzt, dass alle Bestandteile im mitrotierenden System ruhen, aber das hat nichts mit starrer Rotation zu tun. Jede noch so kleine Störung kann den Ring veranlassen, dieses Gleichgewicht zu verlassen. |
Kann nicht, wenn du mit einem Potential rechnest. Wenn du unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten zulässt, dann ist das Problem nicht mehr mit einem Potential berechenbar, und deine Oberfläche ist entsprechend keine Äquipotentialfläche. Zentrifugalkraft kann man zu einem Potential integrieren, Corioliskraft nicht. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 14. Jun 2017 22:49 Titel: |
|
|
| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten zulässt |
Habe ich aber nicht (siehe meine letzte Antwort).
| Ich hat Folgendes geschrieben: | | dann ist das Problem nicht mehr mit einem Potential berechenbar, und deine Oberfläche ist entsprechend keine Äquipotentialfläche. |
Natürlich ist es keine Äquipotentialfläche mehr, wenn das System das hydrostatischen Gleichgewicht verlassen hat.
Dein Argument ist gegenstandslos. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 15. Jun 2017 01:11 Titel: |
|
|
Die Rotation habe ich noch gar nicht in Betracht gezogen.
Die Frage ist ganz einfach, ob man die Identität der Äquipotentialfläche mit der tatsächlichen Oberfläche der Flüssigkeit über ein Extremalprinzip (aus der Hydrodynamik) gewinnen kann; wenn ja, wie; wenn nein, warum nicht. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 15. Jun 2017 18:25 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist ganz einfach, ob man die Identität der Äquipotentialfläche mit der tatsächlichen Oberfläche der Flüssigkeit über ein Extremalprinzip (aus der Hydrodynamik) gewinnen kann; wenn ja, wie; wenn nein, warum nicht. |
Ich kann zumindest den umgekehrten Fall ausschließen, dass aus der Gleichheit des Potentials auf der Oberfläche zwangsläufig auf ein Minimum der potentiellen Energie geschlossen werden kann. Tatsächlich ist das noch nicht einmal eine hinreichende Bedingung für ein hydrostatisches Gleichgewicht.
Dass das Minimum der potentiellen Energie eine hinreichende Bedingung für ein hydrostatisches Gleichgewicht ist, erscheint mir zumindest naheliegend, aber wie man das beweisen könnte weiß ich auch nicht. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 15. Jun 2017 18:34 Titel: |
|
|
[quote="DrStupid"] | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich kann zumindest den ... Fall ausschließen, dass aus der Gleichheit des Potentials auf der Oberfläche ... auf ein Minimum der potentiellen Energie geschlossen werden kann. |
Was wäre - für inkompressible Fluide und eine statische Lösung - dein Gegenbeispiel bzw. -argument? |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 15. Jun 2017 19:57 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Was wäre - für inkompressible Fluide und eine statische Lösung - dein Gegenbeispiel bzw. -argument? |
Im einfachsten Fall eine nach oben zunehmende Dichte. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 15. Jun 2017 20:00 Titel: |
|
|
OK, das wäre aber ein labiles Gleichgewicht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
|
| DrStupid Verfasst am: 15. Jun 2017 20:16 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | OK, das wäre aber ein labiles Gleichgewicht. |
Natürlich ist es labil wenn es nicht im Energieminimum liegt. Das ändert nichts daran, dass es statisch und die Oberfläche ein Geoid ist. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18063
|
| TomS Verfasst am: 15. Jun 2017 20:34 Titel: |
|
|
Es ist in sofern speziell, als aus einem Variationsprinzip natürlich ein Minimum folgen sollte; hier liegt jedoch evtl. ein Sattelpunkt vor (zumindest kenne ich derartige Fälle aus Feldtheorien). Das spricht nicht gegen das Variationsprinzip an sich.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
