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Orthonormalsystem
 
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Neko



Anmeldungsdatum: 04.07.2004
Beiträge: 526
Wohnort: Berlin

Beitrag Neko Verfasst am: 30. Apr 2006 17:48    Titel: Orthonormalsystem Antworten mit Zitat

Schönen Sonntag euch! Wink

Problem: Hab grade die Eigenwerte für ein freies Teilchen (eindimensionale Bewegung von 0 bis a, dann periodisch) ausgerechnet:



Jetz will ich zeigen, dass die ein Orthonormalsystem im Hilbertraum bilden, dass also



Das Skalarprodukt rechne ich ja aus mit



Die Psi-Funktion mit dem Stern ist ja die komplex konjugierte. Um die zu bestimmen, spalte ich die e-Funktion gemäß



auf und sage dann einfach


??

Weil wenn ich das ganze zeuch dann ins Integral packe und mein Algebraprogramm integrieren lasse, krieg ich nich die Definition fürs Kronecker-Delta. Wo isn mein Fehler?
ndung gleich null...

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Zuletzt bearbeitet von Neko am 01. Mai 2006 13:20, insgesamt 2-mal bearbeitet
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 30. Apr 2006 18:31    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

ich würde erwarten, dass da 1 rauskommt, wenn n=m (also wenn in beiden Psis dasselbe k steht) und Null sonst. (Das ist also was anderes als eine Deltafunktion in Abhängigkeit von x).

Das sieht man vermutlich erst dann, wenn man was konkreteres für die k's einsetzt.

Hilft dir das schon weiter?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 30. Apr 2006 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

Du scheinst hier die Wellenfunktion für ein in einen unendlich tiefen Kasten eingeschlossenes Teilchen zu betrachten. Die Periodizität der Wellenfunktion ist dann der übliche "Kastentrick". Insofern ist dein Teilchen dann nicht "frei".

Da Du ein diskretes Spektrum hast wird die Deltafunktion statt der Diracfunktion zum Tragen kommen.

In der Tat ist (wie @dermarkus richtig erkannt hat)



wenn man



setzt.

Einsehen kann man dies mit der Regel von Del'Hospital (hab ich das jetzt richtig geschrieben ?), da man für m=n durch Null dividiert, aber der Grenzwert gegen a geht.


Trotzdem gilt natürlich die Vollständigkeitsrelation, wodurch man jeden beliebigen Zustand in eine Reihe Deiner Basiszustände entwickeln kann.



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Neko



Anmeldungsdatum: 04.07.2004
Beiträge: 526
Wohnort: Berlin

Beitrag Neko Verfasst am: 01. Mai 2006 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

Also erst mal Danke für die Mühe die ihr euch gemacht habt, und dass dus verschoben hast, Markus...

dermarkus hat Folgendes geschrieben:

ich würde erwarten, dass da 1 rauskommt, wenn n=m (also wenn in beiden Psis dasselbe k steht) und Null sonst.


Hast recht, muss ja auch, wenns en Orthonormalsystem sein soll

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Du scheinst hier die Wellenfunktion für ein in einen unendlich tiefen Kasten eingeschlossenes Teilchen zu betrachten.


Rischtisch Big Laugh

schnudl hat Folgendes geschrieben:




das brauchte ich. Hab auf den ersten Blick nich gesehen, dass die komplex-konjugierte von



gerade



ist. Na gut, jetzt klappts. Wenn n=m ist, liefert das ein



und sonst:



rechts der cosinus verschwindet, weil die Stammfunktion für a sich mit der von 0 gerade hebt und links der sinus verschwindet auch, weil der sinus ohnehin für alle k*2Pi (k aus N) verschwindet...

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