Fouriertransfomation der Coulombwechselwirkung

MALTESE · Anmeldungsdatum: 08.11.2004 Beiträge: 44

Hallo Leute, folgendes Problem, der Operator der Coulomb-WW in 2ter Quantisierung ist:

Nach einer Fouriertransformation der Feldoperatoren

erhält man die Coulomb-WW im Impulsraum

ich wollte jetzt gerne

für den Fall bestimmen dass die Teilchen in zwei Ebenen sind, wobei die 2 Ebenen parallel zueinander sind und den Abstand

voneinander haben. Ich möchte nur die WW zwischen den Ebenen bestimmen.
Wir haben

mit

und

Also ich zerleg das erstmal in das Integral parallel zu den Ebenen, die Richtung senkrecht zu beiden wähle ich als

wobei

Damit wird

Das Integral über

ist die Besselfunktion

und das bin ich auch schon am Ende mit meinem Latein, also bleibt

. Für den Fall

bekomme ich natürlich das Resultat wenn beide Teilchen in einer Ebene sind also einfach nur das 2D Resultat. Dann gibt das Integral über die Bessel funktion 1 und es bleibt ein Term

In der Literatur habe ich gefunden das für

.
Jemand eine Idee wie man das zeigt? Ich wundere mich weil meine ganze z-Abhängigkeit ja schon weg ist...woher bekomme ich also diesen exponentiellen Abfall.
Ich glaub ich mach was falsch. Dann dieses Integral über die Besselfkt. mit der Wurzel. Habe es mit partieller Integration versucht, wurde aber nicht einfacher. Vllt habe ich auch einen Fehler gemacht ich prüfe nochmal.
Danke für jede Idee!