| Autor |
Nachricht |
Okta
Gast
|
 Okta Verfasst am: 05. Sep 2016 12:35 Titel: |
 |
|
Hallo,
ich wollte gerade etwas über die Ehrenfest-Relationen lernen.
Dabei habe ich auf Wikipedia nachgeschaut und gesehen dass der Impuls und der Ortsoperator nicht zeitabhängig sein sollen.
Woher weiß ich das?
Danke 
...wiki/Ehrenfest-Theorem
Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Ok nach einiger Nachforschung habe ich gelesen dass im sogennanten Schrödingerbild Operatoren höchstens explizit von der Zeit abhängen können. Ich vermute das hat hiermit etwas zu tun.
Aber...
------------------------------------------------------------------------------------
1.) Was bedeutet hierbei explizit?
Auf Wikipedia steht im Artikel über Schrödinger-Bild darüber nur
 mit  Operator...
aber ist das eigtl. nict praktisch das Gleiche??
------------------------------------------------------------------------------------
2.) Woher weiß ich dass der Ortsoperator nicht explizit von der Zeit abhängt? |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
|
| TomS Verfasst am: 05. Sep 2016 14:17 Titel: |
|
|
Orts- und Impulsoperator sind im Schrödingerbild nicht zeitabhängig. D.h.
Nun betrachten wir den Hamiltonoperator des freien Teilchens sowie den Hamiltonoperator für ein Teilchen in einem zeitabhängigen Potential
} = \frac{p_S^2}{2m})
)
Offensichtlich ist
}}{dt} = 0)
Üblicherweise liegt jedoch ein zeitunabhängiges Potential vor, d.h.
Damit und nur damit gilt die Schrödingergleichung sowie die daraus resultierende Lösung für die Zustände
\rangle_S = U(t-t_0)\,|\psi(t_0)\rangle_S = e^{-iH_S(t-t_0)}\,|\psi(t_0)\rangle_S)
 = e^{-iH_S(t-t_0)})
bezeichnet den Zeitentwicklungsoperator.
Nun betrachten wir im Vergleich dazu das Heisenbergbild. Du definierst
\,|\psi(t_t)\rangle_S = U^\dagger(t-t_0)\,U(t-t_0)|\psi(t_0)\rangle_S = |\psi(t_0)\rangle_S )
D.h. die Zustände sind im Heisenbergbild zeitunabhängig.
Die beiden Bilder werden also wie folgt definiert:
Im Schrödingerbild folgt die Zeitabhängigkeit der Zustände aus der Schrödingergleichung. Eine Zeitabhängigkeit von Operatoren, insbs. des Hamiltonoperators liegt höchstens dann vor, wenn externe Felder (elektrisches Feld, magnetisches Feld, ...) explizit zeitabhängig sind.
Für die Definition des Heisenbergbild werden die Zustände des Schrödingerbildes gerade so transformiert, dass die Zeitabhängigkeit der Zustände verschwindet.
Wichtig: das kannst du nicht erkennen, das sind Definitionen.
Physikalische Größen folgen aus Matrixelementen von Operatoren. Wenn wir z.B. den Erwartungswert des Impulses berechnen, so gilt
 = \langle \psi(t)|p_S|\psi(t)\rangle_S = \langle \psi(t_0)|U^\dagger(t-t_0)\,p_S\,U(t-t_0)|\psi(t_0)\rangle_S = \langle \psi|p_H(t)|\psi\rangle_H )
Dabei wird die Definition des Heisenbergbild gerade so ergänzt, dass die Zeitentwicklung von den Zustränden auf die Operatoren überführt wird:
\,p_S\,U(t-t_0) = p_H(t))
Nun betrachten wir den o.g. Fall eines nicht explizit zeitabhängigen, in x nicht konstanten Potentials. Damit wird der Impulsoperator im Heisenbergbild tatsächlich implizit zeitabhängig. Physikalisch: der Impuls in einem nicht konstantem Potential ist nicht erhalten, also zeitabhängig. Mathematisch: der Zeitentwicklungsoperator U bzw. der Hamiltonoperator H_S vertauschen nicht mit p_S, da in H_S ein x-abhängiges Potential V_S steckt. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
