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Operationsaal
Gast
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 Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 14:51 Titel: Zustandsentwicklung |
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Hallo ich bin neu in der QM und habe gerade eine Aufgabe gelöst bei der man einen Zustand mit der Zeit entwickeln sollte. Dabei habe ich folgende Formel (#) aus meinem Skript verwendet:
}{\hbar}\right)} |t_0>)
in der Aufgabe war:
)
wobei  ONB.
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Ich habe die Aufgabe ziemlich schnell lösen können ( ) indem ich die Matrixexponentialfunktion als Reihe aufgeschrieben habe und mir ein bisschen überlegt habe was bei geraden und ungeraden Summanden passiert. Dadurch bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:
}|1> - i \cdot \sin{(\Omega t)}|0>)
Dieses Ergebnis ist auch laut meiner Musterlösung richtig! 
Das einzige was mich stört ist, dass der Lösungsweg anscheinend wohl ein anderer ist: 
Und zwar wurden dort zuerst die EWe  von H ermittelt und die dazugehörigen EVe  . Dann wurde der AZ  als Superposition dieser Eigenvektoren dargestellt.....
und dann tauchen irgendwann folgende mir-a-priori-erstmal-unbekannte Gleichungen auf :
(*) > = \epsilon_n |\alpha_n(t)>)
> = \epsilon_n |\alpha_n(t)>)
> = e^{\frac{-i \epsilon_n t}{\hbar}} |\alpha_n>)
(**) }{\hbar}\right)}|\alpha_n><\alpha_n |t_0>)
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Mir ist bekannt dass man nicht nilpotenten diagonalisierbaren Matrizen M als
 =: M_{exp-diag})
schreiben kann.
D.h. wenn ich sowohl H als auch meine Zustände in der Eigenbasis EB von H schreibe, könnte ich im Prinzip dadurch dass der Kommutator
 (mit  Einheitsmatrix)
ist, meine bekannte Formel (#) schrieben als:
}{\hbar}\right)} |t_0>_{EB})
} |t_0>_{EB} = \exp{\left(\frac{-it}{\hbar}\mathbb{I}\right)}\exp{\left(H_{EB}\right)} |t_0>_{EB}=)
}\exp{\left(H_{EB}\right)} |t_0>_{EB} = A_{exp-diag}H_{exp-diag, EB} |t_0>) (##)
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FRAGEN:
Folgende Sachen verstehe ich aufs erste aber leider nicht:
1.) Wie komme ich von meiner Gleichung (##) auf (**) ???
2.) Woher weiß ich in (*) das  ???
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Ich wäre euch sehr verbunden, liebe Community, falls mir das jemand erklären könnte.  (Danke fürs lesen) |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 20:24 Titel: |
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Ok, wie mir nach einer kurzen Pause aufgefallen ist, ergibt sich meine 2te Frage eigtl aus der Tatsache dass es sich um die Schrödingergleichung handelt 
sorry for that... 
Trotztem verstehe ich noch meine 1ste Frage nicht... und ich frage mich jetzt auf einmal noch etwas viel wichtigeres:
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3.) Woher kommt eigtl. meine Formel (#) aus dem Skript:
}{\hbar}\right)} |t_0>)
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Meine Vermutung ist dass Sie direkt aus der SGL folgen muss, da die SGL soweit ich weiß die Zeitentwicklun eines qm-Syste beschreibt.... Nichtsdestotrotz würde ich mir dies auchnochmal soweit es geht "mathematisch" klar machen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 30. Aug 2016 20:32 Titel: |
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Deine Gleichung ist einfach die formale Lösung der Schrödingergleichung. Diese
wird gelöst durch
wie du durch formale Differentation
sofort beweist.
Der Operator
 = e^{-iHt})
heißt Zeitentwicklungsoperator.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 21:06 Titel: |
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Hallo, Danke!
Tud mir leid... wegen der dummen Frage. xD ich kann noch nicht so gut mit Operatoren umgehen.
Und wie komme ich von Gleichung (##) auf (**) ? (1ste Frage??)
Irgendeine Idee?
Meine Überlegungen dazu stehen im ersten Post.
Danke. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 21:07 Titel: |
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| Operationsaal hat Folgendes geschrieben: |
Und wie komme ich von Gleichung (##) auf (**) ? (1ste Frage??)
Irgendeine Idee?
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Gar nicht. Deine Gleichung (##) ist falsch. exp(a*b) != exp(a)*exp(b). |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 21:18 Titel: |
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Warum?
a,b kommutieren doch?
bzw. cI*H, mit c komplexe Zahl, I Identität und H Hamiltonoperator. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 21:19 Titel: |
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| Operationsaal hat Folgendes geschrieben: | Warum?
a,b kommutieren doch?
bzw. cI*H, mit c komplexe Zahl, I Identität und H Hamiltonoperator. |
Schau Dir die Gleichung noch mal in Ruhe an. Die gilt noch nichtmal für gewöhnliche Zahlen. |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 21:23 Titel: |
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Achso! 
LOL... sorry. Heut ist wohl irgendwie nicht mein Tag...
Hab das mit
exp(a+b) = exp(a)exp(b)
verwechselt.... 
Jetzt steh ich leider mit (**) voll im Dunkeln. D: |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 21:26 Titel: |
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Schau mal unter "Zerlegung der Eins" ("partition of one") in deine QM-Buecher. |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 21:31 Titel: |
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Ok mach ich.
Den Aisdruck "Zerlegung der Eins" hab ich mal in einer Mathe Vorlesung gehört. Die Professorin hat diesen nebenbei mal erwähnt gehabt ....meinte aber dass das für uns nicht wichtig sei und hat es "übersprungen".
Ich schau mal was ich machen kann... falls ich nicht weiterkomme sag ich bescheid.
Danke für den Tip. |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 21:57 Titel: |
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Ok, die mathematischen Details der "Zerlegung der Eins" verstehe ich nicht ganz da dass Ana3 Stoff ist und ich Ana 3 noch nicht hatte.
Was ich aber aus den Formeln entnehmen konnte ist dass die Einheitsmatrix ausgedrückt werden kann als:
mit  ONB.
D.h. angenommen ich stelle H in einer ONBasis dar die aus den Eigenvektoren von H besteht (...also ich diagonalisiere H). Dann falls H nilpotent:
}|t_0>=: \exp{\left( B \right)}|t_0> = )
}|\alpha_n><\alpha_n|t_0>)
mit  EVn und  Ewe von H.
Stimmt das so?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 21:59 Titel: |
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Wenn Du alle Teile, die ein B enthalten streichst, ja 
}|t_0>= \sum_n\exp{\left( \frac{-iHt}{\hbar}\right)}|\alpha_n><\alpha_n|t_0>= \sum_n \exp{\left( \frac{-i\epsilon_n t}{\hbar}\right)}|\alpha_n><\alpha_n|t_0>) |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 22:26 Titel: |
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Hi, Danke
Warum ist das denm mit dem B falsch?
Ich muss/möchte ja irgendwie Begründen warum exp(aH)=exp(a ε)*Id. mit a komplex |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 22:28 Titel: |
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| Operationsaal hat Folgendes geschrieben: |
Ich muss/möchte ja irgendwie Begründen warum exp(aH)=exp(a ε)*Id. mit a komplex |
Weil die alpha_n Eigenzustände von H sind. |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 22:58 Titel: |
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Danke!
Und warum ist die Überlegung mit B=aH falsch? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 23:01 Titel: |
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| Operationsaal hat Folgendes geschrieben: | Danke!
Und warum ist die Überlegung mit B=aH falsch? |
In der Zeile vllt nicht direkt falsch, aber überflüssig und ausserdem steht drüber B = ONB, dann ist es falsch... |
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Operationsaal
Gast
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| Operationsaal Verfasst am: 30. Aug 2016 23:16 Titel: |
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Ämm ok achso.
Naja dadrüber war mit B das vollständiges Orthonormalsystem gemeint (also eine Menge).
Und in der Gleichung hatte ich spontan den ganzen Kram in der Exponentialfunktion als B definiert (etwas anderes!!!!).
Ist vllt. etwas unlgücklich. passiert geb ich zu. xD
kann sein... für mich war das leider nicht so trivial sorry.
Trotzdem danke für die Kritik. |
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