Fluchtgeschwindigkeit < Orbitalgeschwindigkeit

yukterez · Anmeldungsdatum: 20.09.2014 Beiträge: 96

In der Relativitätstheorie ist es ja so dass die radiale Fluchtgeschwindigkeit gleich der neutonischen Fluchtgeschwindigkeit ist, nämlich

was dazu führt dass diese wenn man sich dem Schwarzschildradius bei rs=2GM/c² nähert auf eine lokale Fluchtgeschwindigkeit von 1c zukonvergiert.

(Für einen Beobachter at infinity wird diese Geschwindigkeit um den Faktor um (1-rs/r) langsamer wahrgenommen, weshalb ein Objekt mit Lichtgeschwindigkeit dort trotzdem scheinbar still steht, siehe Shapiro-Effekt).

Bei der transversalen Orbitalgeschwindigkeit kommt aber ein Faktor dazu, nämlich

(Für einen Beobachter at infinity würde sich dieser zusätzliche Term wieder rauskürzen, da die schnellere Geschwindigkeit aufgrund der gravitativen ZD um den selben Faktor wieder verlangsamt gemessen würde; damit würde man von weitem die neutonische Orbitalgeschwindigkeit beobachten obwohl sie lokal höher ausfiele).

Wenn man sich der Photonensphäre bei ps=3GM/c² nähert konvergiert man also auf eine transversale Orbitalgeschwindigkeit von 1c zu. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit würde an der Stelle aber nur 0.8165c betragen.

Daraus schließe ich dass im starken Feld die Fluchtgeschwindigkeit geringer sein kann als die Orbitalgeschwindigkeit. Das liegt vermutlich an der radialen Längenkontraktion, oder sollte man sagen Tiefenexpansion (der lokal expandierte Radius bis zur Schwarzschildkoordinate R sollte integriert um rs+∫{1/√[1-rs/R], r=rs..r2} höher sein als der Umfang durch 2π).

Das führt dazu dass ein Objekt nahe dem EH zwar einen stabilen Orbit haben kann wenn es genau mit der passenden Geschwindigkeit und mit 0° abgeschossen wird (linkes Bild), während es mit der selben Geschwindigkeit, aber nur ein bisschen weiter nach oben gezielt, bereits entkommt (rechtes Bild):

http://org.yukterez.net/einstein30002.gif

Bei Newton bzw. Kepler würde das einfach nur dazu führen dass man einen etwas elliptischeren Orbit erhält, aber ansonsten alles gleich bliebe (zum Vergleich hier die gleiche Situation wie oben, nur nach Newton):

http://org.yukterez.net/newton30002.gif

Was denkt ihr dazu? Seht ihr das auch so, oder habe ich da etwas Wichtiges übersehen? Eigentlich glaube ich ja dass das so stimmen müsste, aber nachdem ich mich letztens erst bei einer noch viel einfacheren Aufgabe verrechnet habe kann man das ja nie wissen.

Mich auf eine zweite, dritte oder vierte Meinung freuend,

Yukterez

yukterez · Anmeldungsdatum: 20.09.2014 Beiträge: 96

Wenn die Rechnung stimmt ist die Orbitalgeschwindigkeit lokal bei r=4GM/c² gleich hoch wie die Fluchtgeschwindigkeit, während ein Beobachter at infinity beobachtet dass diese bei r=2·(2+√2)=6.8284GM/c² den gleichen Wert haben. Darunter ist die Orbitalgeschwindigkeit höher, und bei steigendem r konvergiert das Verhältnis ve/vo wie bei Newton auf √2 zu:

http://org.yukterez.net/vo,ve.png

Plottend,

Yukterez