Einstein'sches Lochproblem

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Kann mir jemand das "Problem" hinter dem "Lochproblem" erklären? Ich verstehe nur Bahnhof...

Es geht offenbar darum, dass die Metrik im Inneren der Blase durch den Außenraum und die Randbedingungen determiniert ist. Nun wird eine Koordinatentransformation in der Blase durchgeführt, während außen alles beim alten bleibt.

Warum kann man sagen, dass g' zwar verschieden von g ist, aber dennoch die gleiche Lösung repreäsentiert? Die Masseverteilung ist ja anders. Ich habe sowieso ein Problem mit der erwähnten "aktiven" Transformation, denn wenn sich die Massen tatsächlich an andere Stellen bewegen, ist das physikalische System doch ein anderes...Unter Koordinatentransformation versteht man doch normalerweise eine passive. Ich kann mir das 100x durchlesen und werde trotzdem nicht schlau daraus...

Vielleicht kann es mir jemand für Dummies erklären?

Danke !

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

wo ich konkret hänge:

Das T außerhalb des Lochs führt im Inneren des Lochs zu einem metrischen Tensor G(x).

Unter der "Lochtransformation" x->x' habe ich im Inneren des Lochs ein G'(x'), welches ja aber die gleiche Situation wie G(x) beschreibt: ich habe ja nur das Koordinatensystem gewechselt. Wo ist da da ein Paradoxon?

Oder meint man etwa , dass die Lösung G(x') dann ebenfalls gültig wäre, und man daher zumindest zwei verschiedene Innenlösungen zu einer festen Außenlösung hätte? Falls das gemeint ist, sehe ich aber nicht, wieso dies der Fall sein sollte *Brett vorm Kopf* ...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Vielleicht fangen wir andersherum an.

In der ART ist eine Mannigfaltigkeit M gegeben, auf der Koordinatensysteme S, S', ... definiert werden, und auf denen eine Metrik g existiert. Unterschiedliche Koordunatensysteme und unterschiedliche Metriken müssen nicht zwingend unterschiedliche Physik bedeuten! Wenn ich eine Koordinatentransformation von S nach S' durchführe ordne ich dem selben Punkt P unterschiedliche Koordinaten zu, und es werden unterschiedliche in diesem einen Punkt unterschiedliche Metriken resultieren. Die Physik bleibt gleich.

Eine physikalische Situation wird also nicht durch ein Koordinatensystem und eine Metrik beschrieben, sondern durch die Äquivalenklasse (bzgl. Difeomorphismen) aller Koordinatensysteme und aller zugehörige Metriken.

http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-holearg/

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Danke einmal, TomS!
Zu einem gegebenen System und Koordinatensystem S gehört dann eine eindeutige Metrik g. Das transformierte System S' hat dann die Metrik g'. Insofern ist mir klar, das beides das gleiche physikalische System beschreibt. Alle Paare (S, G) die durch Koordinatentransformationen ineinander überführbar sind, bilden also eine "Äquivalenzklasse". Sehe ich das einmal richtig? Soweit denke ich, dass ich das verstanden habe. Paradox ist hier einmal gar nichts...

Aber wo liegt nun der Casus-Knaxus bei dem angesprochenen Lochmodell?
Irgendwo steige ich dazwischen aus und ich kann das Wesentliche bei diesem Paradoxon nicht greifen...

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Das Paradoxon ergibt sich aus dem Verweis auf das Cauchy-Problem.

Die Metrik außerhalb des Loches definiert zusammen mit den Einsteingleichungen im Inneren des Loches eine eindeutige Metrik (als Funktion der Raumzeitpunkte). Außerhalb des Loches wird aber nun laut Voraussetzung durch die Transformation nichts geändert. Im Gegensatz dazu ist innerhalb des Loches die Metrik jetzt aber eine andere. Da die Einsteingleichungen aber allgemein kovariant sind (sein sollen), muß es sich bei der so transformierten Metrik wieder um eine Lösung handeln, im scheinbaren Widerspruch zur Eindeutigkeit der Lösung des Cauchy-Problems.

Wie formuliert denn das Buch das Cauchy-Problem genau? Und wie löst es das Paradoxon? Das würde mich interessieren.

P.S. Ich vermute mal bei der "vorsichtigen" Formulierung des Cauchy-Problems wird dann sowas wie "Eindeutigkeit der Lösung bis auf Isometrie" oder etwas ähnliches rauskommen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Unter der Voraussetzung der globalen Hyperbolizität wird die Diskussion der Constraints und der "Zeitentwicklung" wesentlich vereinfacht im 1st-order oder kanonischen Formalismus (oder speziell für Ashtekar-Variablen).

Zurück zum Thema: M.E. muss es heißen: Die Einsteinschen Feldgleichungen sind bei geeigneten Anfangs- oder Randbedingungen eindeutig lösbar modulo Diffeomorphismen. Oder alternativ: Zwei Raumzeiten - spezifiziert durch Karten sowie eine Metrik - sind physikalisch äquivalent, genau dann wenn sie diffeomorph sind.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich möchte das einmal aus meiner ganz bescheidenen Sicht wiedergeben: Vielleicht kann mir jemand sagen, ab welcher Stelle ich falsche Argumente liefere.

Mache ich eine Transformation T: x --> x', so ist die transformierte Metrik eine Funktion der neuen Koordinaten: G(x) --> G'(x'). Die konkrete Abhängigkeit ist verschieden zu G(x), aber es wird die gleiche Physik beschrieben, nur eben in einem anderen Koordinatensystem - z.B. gedreht.

Frage: Sehe ich das wenigstens bis jetzt korrekt?

Das neue beim Loch-Argument ist nun aber, dass die Transformation irgendwie "aktiv" verstanden wird; man betrachtet dann die Funktion G'(x), welche aufgrund der Kovarianz ebenfalls eine mögliche Lösung darstellt. Für jeden Punkt X im Koordinatensystem x wird der Funktionswert G(X) durch den Wert der Funktion G'(X) mit gleichen Argument X ersetzt. Da G' aber anders aussieht als G, haben gleiche Koordinaten in x unterschiedliche Werte für G, nämlich einmal G(x) und einmal G'(x).

Da der Außenraum hingegen unverändert ist, stellt man fest, dass die Lösung im Loch nicht eindeutig durch die Umgebung festgelegt ist.

Frage: Ist es das, was das Argument sagen will?

Falls ja, wie kommt man dann aus der Misere raus? Wieso sollen G'(X) und G(X) zueinander äquivalent sein und die gleiche Physik beschreiben: Beispielsweise müsste eine Geodäte im originalen Loch durch die gleichen Koordinaten wie im transformierten Loch gehen? ansonsten wäre die Trajektorie einer Probemasse durch den R4 messbar unterschiedlich...

Frage: Ist diese Sicht noch richtig? Falls nein, wo habe ich abgebogen?

Falls ja: wie kann man zeigen, dass die beiden Felder G(x) und G'(X) äquivalent sind? Ich muss zugeben, dass sich mein Kopf dreht, und ich das Gefühl habe, dass es hier wirklich zur Sache geht...

Leider habe ich nichts gefunden, was die Gleichartigkeit beider Beschreibungen mathematisch zeigt. Stattdessen jede Menge philosophische Prosa, die ich in meiner Gedankenwelt zur ART leider noch nicht nicht abbilden kann. Ist die Frage etwa rein philosophischer Natur und mathematisch unzugänglich? Kann ich mir nicht vorstellen, denn sonst brauchen wir hier keine Physik mehr betreiben.

Big Laugh

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Einstein hat ja angeblich gedacht, es gäbe verschiedene physikalische Lösungen bei gleichem Randwert. Ich habe wo gelesen, dass er annahm, dass
R(x) und R'(x) unterschiedliche Realitäten beschreiben. Kann man denn zeigen, dass diese beiden gleichwertig sind? Wennselbst Einstein dies nicht so schnell konnte, nehme ich auch nicht an, es gelänge mir, dies in 10 min zu verstehen, aber gibt es so einen "Beweis" denn?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Und es ist so kompliziert, dass selbst Einstein daran 2 Jahre scheiterte? Dann brauche ich nicht mal im Gedanken danach fragen. Big Laugh

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich habe irgendwo mal gelernt, dass das Cauchy-Problem wohldefinierte ist, wenn geeignete Eichbedingungen bzgl. der Metrik gefordert werden. Im Kontext der Quantengravitation habe ich verstanden, dass dies äquivalent ist zur Konstruktion einer maximalen, raumartigen Hyperfläche unter Beachtung der Implementierung der Constraints auf derselben.

D.h. ausgehend von einer raumartigen Hyperfläche ist das Cauchy-Problem lösbar. Ausgehend von einer vier-dim. Raumzeit ist das Cauchy-Problem i.A. nicht lösbar.