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Mr. Glanz
Gast
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 Mr. Glanz Verfasst am: 09. Jan 2016 21:01 Titel: Lorentztransformation Gruppenaxiome |
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Meine Frage:
Die eigentliche Lorentztransformation ist eine Abbildung des Raum-Zeitkontinuums auf sich,  \rightarrow (\vec r' ,t') = L_{v}(\vec r ,t) ) , die durch
 )
 )
mit ^{-1/2}) definiert ist. Dabei ist  die in x-Richtung liegende Relativgeschwindigkeit
der beiden Inertialsysteme KS und KS' und c die Lichtgeschwindigkeit.
a) Zeigen Sie, dass die Lorentztransformationen eine Gruppe bilden, d.h.
1) Abgeschlossenheit: 
2) Neutrales Element: =(\vec{r},t) )
3) Inverses Element: 
4) Assoziativität: L_{v1}=(L_{v1}L_{v2})L_{v3})
b) Zeigen Sie, dass die Lorentztransformation im klassischen Grenzfall v << c (oder formal: c ->  )
in die Galileitransformation übergeht.
c) Aus der Abgeschlossenheit leitet sich das Additionstheorem der Geschwindigkeiten her. Zeigen sie
hiermit, dass aus v1; v2 < c unter allen Umständen eine resultierende Geschwindigkeit v < c folgt.
Meine Ideen:
Aufgabenteil a) 2) und Aufgabe b) verstehe ich ohne Weiteres. was den Rest von Aufgabe a) und Aufgabe c) angeht, bin ich allerdings etwas ratlos. Mir fehlt schon alleine das Wissen um die Operation, die in a) durchgeführt werden soll. Es scheint sich dabei wohl um eine Verknüpfung der LTs zu handeln, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das ''berechne'' und wie ich dann zu einem Beweis gelange... Einschlägige Internetseiten konnten mich leider nicht erleuchten und ein Skript haben wir nicht. Wäre da für jede Hilfe dankbar.  |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 09. Jan 2016 21:22 Titel: |
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Okay, dann mach es schrittweise:  ist eine Abbildung  . Wenn Du nun das Bild eines Raumzeit-Punktes unter der Komposition zweier Lorentztransformationen bestimmen willst, bestimmst Du eben erst das Bild unter der ersten Transformation (das steht schon da), und anschließend das Bild dieses Punktes unter der zweiten Transformation. Das heißt, anstelle von x schreibst Du das x' der ersten Transformation usw.:
 \quad x'' = \gamma_2 (x' - v_2 t' ))
Klar, was zu tun ist? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2016 14:37 Titel: |
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Eine Gruppe bedeutet, dass eine algebraische Struktur wie z.B. bei der Multiplikation der reellen Zahlen vorliegt:
- Die Multiplikation ist abgeschlossen, d.h. das Produkt zweier reeller Zahlen x,y ist wieder eine reelle Zahl
 .
- Die Multiplikation besitzt ein neutrales bzw. Eins-Element
- Die Multiplikation besitzt ein inverses Element
- Die Multiplikation ist assoziativ, d.h.
 \cdot z = x \cdot (y \cdot z))
Diese Gruppenstruktur kannst du nun auf Lorentztransformationen übertragen, d.h. aus den x,y,z,1 werden Elemente der Lorentzgruppe L. Dabei hilft es, die Lorentztransformation als Operation einer Matrix L auf einen Vektor (x,y,z,t) aufzufassen. Da y,z im folgenden keine Rolle spielen lasse ich sie zunächst mal weg. Außerdem setze ich c = 1, d.h. der Grenzfall v = c wird durch den Grenzfall v = 1 ersetzt. Dann gilt
)
)
Dies schreibe ich nun als Matrix * Vektor
Jetzt genügt es, die Gruppenstruktur für die Matrixmultiplikation zu zeigen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Jan 2016 21:41, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Jan 2016 17:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
[*]Die Multiplikation besitzt ein neutrales bzw. Eins-Element
[*]Die Multiplikation besitzt ein inverses Element |
Noch eine Ergänzung: Es genügt dafür, lediglich die folgenden Aussagen zu zeigen:
 (linksneutrales Element) und  (linksinverses Element)
Die scheinbar allgemeinere Aussage folgt dann schon daraus. Analog für rechts. (Es genügt allerdings nicht, etwa zu zeigen, daß die Gruppe ein linksneutrales und jedes Element ein rechtsinverses Element besitzt.)
Das ist natürlich im vorliegenden Beispiel nicht so wichtig, wenn man nur Lorentztransformationen in einer Dimension zuläßt, da die Gruppe dann kommutativ ist. Das gilt jedoch nicht mehr, wenn man drei Dimensionen zuläßt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2016 18:44 Titel: |
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Ich erinnere mich dunkel, dass man die Existenz eines eindeutigen und mit dem linksinversen identischen rechtsinversen Element beweisen kann ...
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Jan 2016 18:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich erinnere mich dunkel, dass man die Existenz eines eindeutigen und mit dem linksinversen identischen rechtsinversen Element beweisen kann ... |
Ja, aber dafür braucht man das linksneutrale Element. 
PS: Der Beweis wird zum Beispiel bei Algebra von Serge Lang auf Seite 7 (3. Auflage, §3) gegeben. Ich zitiere ihn mal, da er wirklich sehr kurz ist:
| Zitat: | Let G be a set with an associative law of composition, let e be a left unit for that law, and assume that every element has a left inverse. Then e is a unit, and each left inverse is also an inverse. In particular, G is a group.
To prove this, let  and let  such that  . Then
 .
Multiplying on the left by a left inverse for b yields
 ,
or in other words, b is also a right inverse for a. On sees also that a is a left inverse for b. Furthermore,
 ,
whence e is a right unit.
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Ich habe auch mal explizit gelesen, daß die Kombination links/rechts nicht hinreichend ist. Ich erinnere mich aber leider nicht mehr, wo. Der Beweis zeigt aber eigentlich, woran es scheitert. |
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Mr. Glanz
Gast
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| Mr. Glanz Verfasst am: 10. Jan 2016 20:01 Titel: |
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Okay, danke für die vielen schnellen Antworten. Ich glaube ich habs mit euren Ansätzen soweit alles lösen können 
LG, Mr. Glanz |
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