Differentialgleichung eines Hydrauliksystems

lowtide · Anmeldungsdatum: 27.11.2015 Beiträge: 3

Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit der Differentialgleichung eines einfachen Hydrauliksystems.

Man stelle sich ein Volumen

mit einer Hydraulikflüssigkeit vor, an das zwei Kolben angeschlossen sind. Die Bewegung des ersten Kolbens wird als Funktion

vorgegeben. Die Bewegung des zweiten Kolbens mit der Masse

ist gesucht.

Kolben eins und zwei haben die Flächen

und

Für die Bewegung des zweiten Kolbens

gilt gemäß der Bewegungsdifferentialgleichtung:

Für den Druckaufbau im System habe ich folgende Gleichung gefunden:

mit

und

als Kompressionsmodul der Flüssigkeit.

Mein Problem ist nun die beiden Gleichungen miteinander zu verknüpfen um eine Differentialgleichung zu erhalten in der auf der einen Seite der Eingang

und auf der anderen die Bewegung des Kolbens zwei und die jeweiligen Ableitungen stehen.

Gruß Flo

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Definitionen

Kompressionsmodul K:

Kompressionskoeffizient

Es muss noch nach isothermer und adiabatischer Kompression unterschieden werden.

Die Kompression bei Hydrauliköl kann praktisch vernachlössigt werden

Pa

Dann gilt:

lowtide · Anmeldungsdatum: 27.11.2015 Beiträge: 3

Danke für die Antwort.
den Gedanken hatte ich auch schon und die Annahme vereinfacht die Sache natürlich enorm.

Wie sähe es denn aus wenn die Kolben über eine Drossel miteinander verbunden wären?

Für die Drossel gilt meines Wissens folgender Zusammenhang:

wobei

ein geometrische Faktor ist.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Die Drossel hat keinen Einfluss. Nach der Drossel sinkt zwar der Druck, aber die Geschwindigkeit erhöht sich (Bernoulli).

Da das Gesamtvolumen sich nicht ändert, wird das von Kolben 1 verdrängte Volumen, dem Volumen vor Kolben 2 zugeführt.

Es gilt die Kontinuitätsgleichung

Gleichmässige Bewegung:

lowtide · Anmeldungsdatum: 27.11.2015 Beiträge: 3

Hallo Mathefix,

die erste Antwort von Freitag, die inzwischen gelöscht würde hat mich mehr zufrieden gestellt.
Wenn das ganze sehr langsam abläuft hast du vermutlich recht. Die Menge des Öls ist konstant und damit sind die Lagebeziehungen der Kolben zueinander klar.
Was passiert aber, wenn die Geschwindigkeit des ersten Kolbens sehr schnell ist? Dann wird das Fluid nicht so schnell durch die Drossel fließen können und in Zylinder 1 wird sich zunächst ein höherer Druck aufbauen als in Zylinder 2.
Das Lösen der DGL, die hier am Freitag gepostet wurde sollte numerisch bei gegebenen Anfangsbedingungen doch möglich sein oder?!?

Gruß Flo