Lennard-Jones-Potential

nickimyok14 · Gast

Eine ganz simple Frage:

Gegeben ist das Lennard-Jones-Potential

Für die van-der-Waals Wechselwirkung zweier Ar-Atome nehmen die Parameter

und

die Werte 10,4 meV und 0,34 nm ein.

Berechnet werden sollen:

- Bindungsenergie bei unendlichem Abstand der beiden Atome
- Gleichgewichtsabstand
- Bindungsenergie

Nun die Bindungsenergie ist ja schon das gegebene

oder?

Und für den Gleichgewichtsabstand gilt ja

, d.h. ich müsste dann einfach einsetzen?

Bindungsenergie bei unendlichem Abstand wäre doch Null (wenn man das als limes aufschreiben würde)?

Andere Frage: Die Bindungsenergien die man oben ausrechnet gelten ja für das gesamte System und für das einzelne Atom müsste ich die berechneten (bzw. ja gegebenen) Bindungsenergien durch 2 teilen?

Vielen Dank im Voraus

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Nein, das

ist einfach nur eine Konstante. Eigentlich macht die Frage in dieser Form wenig Sinn, meine ich.
Bindungsenergie im Unendlichen ist auch eine bescheuerte Frage: Bindungsenergie ist definiert als die Menge an Energie, die aufgebracht werden muss, um die Bestandteile (hier also die beiden Ar Atome) voneinander zu trennen, sprich ihren Abstand ins Unendliche zu vergrößern. Schon nach der Definition ist also klar, dass die Energie 0 sein muss, wenn sie schon vorher im getrennten Zustand sind.

Das einzig Vernünftige wäre die Frage nach der Bindungsenergie im Gleichgewichtsabstand. "Einfach Einsetzen" ist aber so eine Sache. Hier würde nur das falsche Vorzeichen raus kommen. I. A. muss aber das Potential nicht unbedingt den Grenzwert 0 im Unendlichen haben. Nach der Definition der Bindungsenergie musst Du eine Differenz bilden aus dem Potential in der Unendlichkeit und dem Potential an der betrachteten Stelle.

Kannst Du die komplette Aufgabe mal hier posten? Ich glaube, dass Du uns da ein paar Dinge "unterschlägst"...

Gruß
Marco

nickimyok14 · Gast

ok, hier die komplette aufgabe:

a) Welche Bedeutung haben die beiden Konstanten σ und ε im Lennard-Jones Potential

b) Für die Van-der-Waals Wechselwirkung zwischen zwei Ar-Atomen nehmen die Parameter ε und σ folgende Werte an:

ε=10,4 meV
σ=0,34 nm

Berechne:
- die Bindungsenergie bei unendlichem Abstand der beiden Atome
- den Gleichgewichtsabstand
- die Bindungsenergie

zu a) Hier habe ich zunächst die Gleichung abgeleitet und diese gleich Null gesetz, damit habe ich herausgefunden, dass an der Stelle

ein Minimum vorliegt. Dieses habe ich dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt und habe

erhalten.

Dann habe ich

gesetzt und für die Nullstelle

erhalten.

zu b) (die Überlegungen ganz oben)...

LG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich würde wie folgt vorgehen:

1) das Potential U(r) plotten
2) lokales Minimum bestimmen; dies entspricht dem Gleichgewichtsabstand r_0

3a) Energiedifferenz zwischen Minimum und dem Supremum im Unendlichen bestimmen; das wäre die klassische Bindungsenergie (hier negativ)

3b) Taylorentwicklung des Potentials um das Minimum; quantenmechanischen Grundzustand des entspr. 1-dim. harmonischen Oszillatorpotentials; Energiedifferenz zwischen quantenmechanischen Grundzustand und dem Maximum berechnen; das wäre eine Näherung für die quantenmechanische Bindungsenergie

3c) m.E. ist (3b) so nicht vollständig korrekt; man müsst sich streng genommen überlegen, ob und wann diese 1-dim. Näherung sinnvoll ist

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

@TomS: Von welcher Aufgabe redest Du?

@nickimyok14:
OK, ich verstehe das so: Du sollst die Bindungsenergie im Abstand Unendlich angeben: Die ist definitionsgemäß 0
Den Gleichgewichtsabstand hast Du ja. Den bekommst Du in der Tat als Minimum des Potentials.
Beim dritten Punkt ist dann mE nach der Bindungsenergie im Abstand von diesem Minimum gefragt. Da das Potential gegen Unendlich 0 wird, musst Du also einfach in die Formel einsetzen. Da kommt bei mir aber nicht Epsilon als Funktionswert des Minimums raus, auch nicht minus Epsilon, sondern minus 2 Epsilon. Dann ist die Bindungsenergie mE einfach 2 Epsilon.
Bindungsenergie pro Atom macht mE. wenig Sinn anzugeben und ist auch nicht gefragt. Man könnte hier vielleicht dann durch zwei teilen, keine Ahnung. Allerdings ist das eher interessant, wenn man N Teilchen hat und dort eine konstante Bindungsenergie pro Teilchen angeben könnte (in der Näherung). Das ist hier aber ja eher nicht so sehr interessant, denke ich.

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Ach, jetzt verstehe ich, was Du meinst, TomS! Ich habe die ganze Zeit gesucht, wo die Aufgaben 3 a) bis c) sind! Jetzt ist es klar geworden.

Gruß
Marco