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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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 spam Verfasst am: 05. Jul 2015 20:49 Titel: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der p-Orbitale |
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Berechnen Sie die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der drei 2p-Orbitale fur die Koordinaten (r, ϑ, ϕ). Entnehmen Sie die entsprechenden Funktionen  ,  und  der einschlägigen Literatur.
^2 + (2p_y)^2 + (2p_z)^2)
Gefunden habe ich nur folgende Wellenfunktionen:
 \cdot \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} \cdot \left( \frac{Z}{a_0} \right)^{5/2} \cdot e^{-Zr/2a_0})
 \cdot \cos(\theta) \cdot \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} \cdot \left( \frac{Z}{a_0} \right)^{5/2} \cdot e^{-Zr/2a_0})
 \cdot \sin(\theta) \cdot \frac{1}{4 \sqrt{2 \pi}} \cdot \left( \frac{Z}{a_0} \right)^{5/2} \cdot e^{-Zr/2a_0})
Allerdings sind das die Wellenfunktionen für allgemeine p-Orbitale in Kugelkoordinaten und nicht speziell für die 2p-Orbital. Spielt das eine Rolle? Wie mache ich jetzt weiter?  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 05. Jul 2015 22:50 Titel: |
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Auf
https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstoffatom
findest du die 2p-Wellenfunktionen. Das müsste auch zu deinen Angaben passen, denn da handelt es sich sicher nicht um eine allgemeine Form für beliebige n > 1.
Üblicherweise werden die Wellenfunktionen der 2p-Zustände für l = 1 sowie m = -1, 0, +1 angegeben. Der Zusammenhang mit px, py, pz lautet
)
)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 05. Jul 2015 23:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 05. Jul 2015 22:55 Titel: Re: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der p-Orbitale |
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| spam hat Folgendes geschrieben: | | Berechnen Sie die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der drei 2p-Orbitale |
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, nicht die Wahrscheinlichkeit der Summe.
D.h. nicht
sondern
Deine Notation
passt jedenfalls nicht so ganz.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Jul 2015 16:35 Titel: Re: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der p-Orbitale |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, nicht die Wahrscheinlichkeit der Summe. |
Berechtigter Einwand, dann:
^2 + (2p_y)^2 + (2p_z)^2)
So besser? Im Übrigen gehörte diese Notation noch zur Aufgabenstellung.
Die Wellenfunktionen der 2p-Orbitale sind dann nach deinem angegebenen Link:
 e^{-Zr/2a_0} \cdot \sqrt{ \frac{3}{4 \pi} } \cdot \cos( \vartheta ))
 e^{-Zr/2a_0} \cdot \sqrt{ \frac{3}{8 \pi} } \cdot \sin( \vartheta ) \cdot e^{-i \varphi})
 e^{-Zr/2a_0} \cdot \sqrt{ \frac{3}{8 \pi} } \cdot \sin( \vartheta ) \cdot e^{i \varphi})
Dann ist die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten:
 + \frac{1}{2} \sin^2(\vartheta) \cdot e^{-2i \varphi} + \frac{1}{2} \sin^2(\vartheta) \cdot e^{2i \varphi} \right))
 + \frac{1}{2} \sin^2(\vartheta) \cdot \left( e^{-2i \varphi} + e^{2i \varphi} \right) \right))
 + \frac{1}{2} \sin^2(\vartheta) \right))
Wenn die Zahl  vor dem Sinus nicht stören würde könnte ich mit dem trigonometrischen Pythagoras die Funktion einfach zusammenfassen. Aber ich weiß auch nicht wie ich den Vorfaktor da wegbekomme. Kann es sein, dass die Wellenfunktionen nicht ganz korrekt sind?
Zuletzt bearbeitet von spam am 16. Jul 2015 16:39, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Jul 2015 16:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Üblicherweise werden die Wellenfunktionen der 2p-Zustände für l = 1 sowie m = -1, 0, +1 angegeben. Der Zusammenhang mit px, py, pz lautet
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Abgesehen davon, dass du zweimal "2p_x" verwendet hast kann ich die Zusammenfassung nicht so ganz nachvollziehen: Warum addierst und subtrahierst du die Wellenfunktionen mit den Zustände m=+1 und m=-1? Ich dachte 2p_x wäre m=+1 und 2p_y dementsprechend m = - 1.
Und woher kommt der Vorfaktor, der im letzteren Fall sogar noch die imaginäre Einheit enthält? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 16. Jul 2015 19:48 Titel: |
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Das _x in der letzten Zeile ist ein Schreibfehler; muss _y heißen.
Meiner Erinnerung nach sind die p_x, p_y und p_z Wellenfunktionen als geeignete reelle Linearkombinationen der komplexen m=-1, m=+1, m=0 Wellenfunktionen definiert. Das ist nur eine Basistransformation.
Ich habe im Internet nur die Wellenfunktionen in der m-Darstellung gefunden. Du müsstest diese anwenden und damit deine Wellenfunktionen in der x,y,z-Darstellung zu berechnen bzw. deine zu verifizieren.
Mit deiner Notation habe ich ein anderes Problem. Gesucht ist "die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der drei 2p-Orbitale".
Gegeben sind zunächst drei Wellenfunktionen
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten sind dann
Und deren Summe ist
Warum du deine drei Wellenfunktionen mit Komma getrennt zwischen die Betraggstriche schreibst, ist mir nicht klar.
Mit dem Vorfaktor 1/2 hast du recht; ich erwarte, dass die Winkelabhängigkeit für die zu berechnende Summe herausfällt. |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Jul 2015 23:18 Titel: Re: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten der p-Orbitale |
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Auf ein Neues:
)
Da ich etwas schreibfaul bin fasse ich mal die Konstanten etwas zusammen:
Damit ist die 2pz-Funktion in Kurzschreibweise:
)
Die 2px- und 2py-Funktion:
)
)
Da  ist. Für die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten erhalte ich dann:
 + f \cdot \frac{3}{4 \pi} \cdot \sin^2( \vartheta ) )
 + \sin^2( \vartheta ) \right))
Bzw. als abschließenden Ausdruck für die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten:
Nun ist auch endlich die Winkelabhängigkeit raus. Für Z = 1:
Das ist ja noch die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten. In der Aufgabe war noch folgendes Stammintegral gegeben:
Aber durch Integration der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten gelange ich doch zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit (die gar nicht gefragt ist), oder? Somit wäre ich an dieser Stelle fertig? Obwohl, den Radius habe ich doch gar nicht gegeben, wie berechne ich das?
Zuletzt bearbeitet von spam am 16. Jul 2015 23:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Jul 2015 23:19 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Warum du deine drei Wellenfunktionen mit Komma getrennt zwischen die Betraggstriche schreibst, ist mir nicht klar. |
Die Kommata habe ich (versehentlich) mit reingeschmuggelt. Ansonsten ist das eine Notation unseres Profs für die Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten aller drei 2p-Orbitale. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 17. Jul 2015 00:58 Titel: |
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Das Ergbins ohne Winkelabhängigkeit entspricht den Erwartungen.
Integrieren musst du nicht, da eben nach Dichten gefragt ist. |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 17. Jul 2015 01:25 Titel: |
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Eine abschließende Frage noch: Wie kann man die Winkelunabhängigkeit des Ergebnisses physikalisch begründen? Du scheinst das ja schon vorausgeahnt zu haben. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 17. Jul 2015 07:56 Titel: |
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Physikalisch nicht, jedoch mathematisch.
Die abstrakten Zustände |lm> mit Drehimpuls l = 0, 1, 2, ... und m = -l, ... +l bilden je l die sogenannte l-Darstellung der Rotationsgruppe SO(3). Letztere stellt eine Symmetrie des Systems dar, da dieses rotationsinvariant bzgl. einer beliebigen Achse und eines beliebigen Winkels ist; das Potential ~ 1/r hängt ja nicht von den Winkeln ab.
Die Ortsdarstellung mittels Wellenfunktionen liefert
 = R_{kn}(r) \, Y_{lm}(\Omega))
wobei der Winkelanteil in den Kugelflächenfunktionen Y steckt. Mit diesen hattest du gerechnet.
Nun erwartet man, dass ein symmetrisches System auch symmetrische Lösungen hat. Für die s-Zustände mit l = 0, m = 0 ist dies offensichtlich der Fall. Für p, d, ... mit l = 1, 2, 3, ... zunächst nicht.
Allerdings ist sozusagen die Mittelung über alle m für festes l wieder rotationsinvariant. Das hast du berechnet.
Man kann nun außerdem folgendes tun: da alle Energien zu gleichem n und l jedoch unterschiedlichem m entartet sind, ist es sinnvoll, diesbzgl. eine Linearkombination zu definieren. Außer bei einer speziellen Präparation besteht ja kein Grund, dass z.B. gerade m = +1 vorliegen sollte, denn dies entspräche einer Auszeichnung eines speziellen m bzgl. einer ausgezeichneten z-Achse.
 = \frac{1}{\sqrt{2l + 1}} \, R_{nl}(r) \sum_m Y_{lm}(\Omega))
Ich erwarte, dass für diesen Zustand die Erwartungswerten aller Vektor-artigen Operatoren r, p, L verschwinden, da der Zustand maximal symmetrisch ist, die Operatoren jedoch nicht.
Betrachte mal die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte
 = \int_\Omega d\Omega \, | \phi_{nl}(r,\Omega) |^2)
Beim Ausmultiplizieren des Betragsquadrates erhältst du Terme der Form
Beim Integrieren über Omega führt jedoch die Orthonormierung der Kugelflächenfunktionen dazu, dass nur die Terme mit m' = m beitragen; alle anderen sind Null. Das ist aber exakt die Summe aus drei Termen, did du oben berechnet hast.
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 17. Jul 2015 13:44 Titel: |
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Vielen lieben Dank für die tolle/ausführliche Hilfe.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 17. Jul 2015 19:26 Titel: |
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Gerne!
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