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Gausspaket oder nicht?
 
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mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 09. Mai 2015 16:42    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, backslash und slash vertauscht


Hallo liebe Physiker*innen,
ich habe folgende Aufgabe und bin verwirrt (was wohl auch der Zweck ist):
Ggb:


Gs:
(a) Finde N durch Normalisierung
(b) Finde Setze
(c) best. Warsch. das Teilchen in zu finden.

Zu (a)
Ich bin mit über die Schreibweise nicht im Klaren. Ich denke es gibt zwei Möglichkeiten, das zu interpretieren:
(i)
wobei I das Integral ist. Dieses kann ich auflösen und erhalte:

Dann berechne ich
also

Das heißt insgesamt:

oder (ii)

Dann wäre das Integral als

zu interpretieren und die Normalisierung müsste über y geschehen mit anschließend "setze y=0"

Ich habe den Verdacht, dass ich hier in die Irre geführt werden soll, dadurch, dass hier noch eine zahl vor das x geschrieben wird, die so aussieht, als wäre sie eine Gaussfkt. Wenn es tatsächlich eine Gaussfkt. wäre, müsste nur dastehen:


Man könnte natürlich auch noch eine weitere Interpretation anführen (iii)

Dann wäre

eine Wellenfkt. im P-Raum multipliziert mit . Das wäre dann auch irgendwie lösbar, aber schon kompliziert. Naja, es wäre nett, wenn ihr mir beim interpretieren helfen könntet. Ich glaube den Rest kriege ich auch hin, wenn ich über den Anfang klar bin.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 09. Mai 2015 16:54    Titel: Korrektur Antworten mit Zitat

Korrektur:

1.
...

...


2.
...
also
[latex] N= \frac{1}{ 2 \sqrt{\pi \sigma ^2}} [\latex]
Das heißt insgesamt:
...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Mai 2015 18:50    Titel: Antworten mit Zitat

Nee, so einfach geht das nicht. Es ist



Und in der Integraldarstellung für bra sowie ket musst du zwei verschiedene Variablen x und x' verwenden; sind ja zwei verschiedene Objekte (bra und ket) und damit auch zwei verschiedene Integrale.

Dein Zustand psi ist gegeben als



In f(x) versteckt sich die Gaussfunktion. Zu berechnen ist also



Jetzt kannst du <x|x'> wie oben einsetzen, das erste Integrale mittels Deltafunktion sowie das zweite Integral für die Gaussfunktion lösen und daraus N bestimmen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 09. Mai 2015 21:46    Titel: Wirklich eine Gaussfkt. ? Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nee, so einfach geht das nicht.

Ehrlich gesagt würden deine Einwände für die weiteren Betrachtungen vieles einfacher machen.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es ist




Und in der Integraldarstellung für bra sowie ket musst du zwei verschiedene Variablen x und x' verwenden; sind ja zwei verschiedene Objekte (bra und ket) und damit auch zwei verschiedene Integrale.



Okay, aber warum kann ich die beiden unabhängigen Integrale nicht ienfach unabhängig lösen? "Verhindert" der x ket im Integral, dass ich gleich loslegen kann? Ich dachte, ich könnte es so machen:


und weiter wie gehabt. Also ich meine damit gezeigt zu haben, dass ich den x-ket vorziehen darf, weil ich entscheiden kann, welches Integral zuerst löst. Stimmt das? Wenn nein, warum nicht?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Dein Zustand psi ist gegeben als



In f(x) versteckt sich die Gaussfunktion.


Ich argumentiere, es versteckt sich in Psi das Integral einer Gaussfkt.
Das ist doch ein Unterschied, weil ich das Integral schon vorher lösen kann. Wenn dort tatsächlich nur eine Gaussfkt stünde, würde ich dir vollkommen zustimmen. Wir hatten bspw. mal für eine Aufgabe ggb. :

aber das ist ja etwas anderes, oder nicht?
Ich stimme dir aber zu, was das weiterechnen von deinem Ansatz aus betrifft. Ich verstehe also die Diskrepanz unserer Ansätze nicht. Danke für die schnelle Antwort noch smile
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 09. Mai 2015 22:05    Titel: Vielleicht habe ich es begriffen Antworten mit Zitat

Kann es sein, dass ein Integral um einen ket grundsätzlich nicht auflöst, sondern eben erst, wenn ich eine skalare Fkt. mit einem bra erzeugt habe?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 09. Mai 2015 22:40    Titel: Re: Wirklich eine Gaussfkt. ? Antworten mit Zitat

mathilope hat Folgendes geschrieben:
Ich dachte, ich könnte es so machen:


und weiter wie gehabt. Also ich meine damit gezeigt zu haben, dass ich den x-ket vorziehen darf, weil ich entscheiden kann, welches Integral zuerst löst. Stimmt das? Wenn nein, warum nicht?

Das stimmt nicht, weil die Delta-Funktion ein x enthält, also nicht einfach aus dem x-Integral rausgezogen erden kann.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 09. Mai 2015 23:29    Titel: Re: Wirklich eine Gaussfkt. ? Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
mathilope hat Folgendes geschrieben:
Ich dachte, ich könnte es so machen:


und weiter wie gehabt. Also ich meine damit gezeigt zu haben, dass ich den x-ket vorziehen darf, weil ich entscheiden kann, welches Integral zuerst löst. Stimmt das? Wenn nein, warum nicht?

Das stimmt nicht, weil die Delta-Funktion ein x enthält, also nicht einfach aus dem x-Integral rausgezogen erden kann.

Ich habe mittlerweile eingesehen, dass das nicht stimmt und ich habe es auch falsch aufgeschrieben, aber der eigentliche Fehler liegt glaube ich woanders.
Ich könnte das ganze doch auch so (richtiger aber nicht richtig) schreiben:


Das Problem liegt meines Erachtens darin, dass das Integral

eben nicht auflösen lässt, weil die vielen l.u Vektoren, die mit x' bezeichnet sind, sich nicht zu einem zusammenfassen lassen können. Das Integral dx' über dem ket x' kann also nicht aufgelöst werden. Ich darf aber sehr wohl entscheiden, ob ich zuerst das Integral dx oder das Int dx' auflöse (nur funktioniert es bei dem einen halt nicht). Der Fehler passiert also bei:


Ich glaube auch, mein Problem lag überhaupt beim Übergang von zu und vor allem umgekehrt.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 10. Mai 2015 08:27    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt machst du's dir zu kompliziert.

Du benötigst für diese Aufgabe keine Darstellung der Eins.

Du benötigst auch keine Berechnung der Wellenfunktion durch Projektion auf <x|, obwohl du das natürlich tun könntest.

Du musst wirklich nur das Integral über dx und dx' lösen, das ich oben hingeschrieben habe. Wichtig dabei ist, dass du |x> etc. nie aus Integralen über dx herausziehen oder diese direkt lösen kannst. Du musst das |x> loswerden, um zu integrieren. In diesem Fall funktioniert das automatisch, da bei der Berechnung der Norm ein <x|x'> und damit die Deltafunktion auftritt.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 10. Mai 2015 09:38    Titel: Re: Wirklich eine Gaussfkt. ? Antworten mit Zitat

mathilope hat Folgendes geschrieben:
Ich könnte das ganze doch auch so (richtiger aber nicht richtig) schreiben ...

Das Problem liegt meines Erachtens darin, dass das Integral ... sich eben nicht auflösen lässt ...

Na ja, es gibt nur richtig oder falsch; kein "richtiger".

Du kannst ein Integral mittels Deltafunktion schon auflösen, aber das bringt nichts: wenn du das ursprüngliche Integral über dx mit der Eins in x-Darstellung von links multiplizierst und das resultierende Integral über dx' mittels Deltafunktion berechnest, denn erhältst du exakt wieder das ursprüngliche Integral.

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mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 10. Mai 2015 12:32    Titel: Danke schön Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Jetzt machst du's dir zu kompliziert.

Wichtig dabei ist, dass du |x> etc. nie aus Integralen über dx herausziehen oder diese direkt lösen kannst. Du musst das |x> loswerden, um zu integrieren. In diesem Fall funktioniert das automatisch, da bei der Berechnung der Norm ein <x|x'> und damit die Deltafunktion auftritt.

Danke schön. Ja ich meine mittlerweilke auch, dass dein Weg der einzige richtige ist. Das mit dem Vektor rausziehen, war wirklich ein Holzweg und eigentlich ein schnell zu durchschauender Fehler.
Zitat:

Du kannst ein Integral mittels Deltafunktion schon auflösen, aber das bringt nichts: wenn du das ursprüngliche Integral über dx mit der Eins in x-Darstellung von links multiplizierst und das resultierende Integral über dx' mittels Deltafunktion berechnest, denn erhältst du exakt wieder das ursprüngliche Integral.

Ja, auch da stimme ich dir zu. Wenn ich zuerst das Int dx berechne (die einzige korrekte Möglichkeit) kommt wieder das alte Integral raus. Und natürlich hast du recht, dass der Versuch, durch die Multiplikation mit einer Identität das Integral über einen kontinuierlichen Satz von sehr vielen Vektoren zu einem einzelnen Vektor aufzulösen, von Anfang an vergeblich sein musste. Ich danke euch vielmals, auch für die Geduld. Ich habe viel gelernt, glaube ich.
Ich poste gleich nochmal, was ich zuende gerechnet habe.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 10. Mai 2015 13:11    Titel: Lösung der (a) Antworten mit Zitat

(a)

Mir ist nicht klar, warum N reell ist. Hier handelt es sich ja nicht um den echten reellen Ortsraum, sondern um einen vieldimensionalen Hilbertraum, der auch komplexe Werte enthält.

Kann mir jemensch erklären, wie ich die Gleichungen vernünftig anordnen kann? Vielleicht würde es schon reichen, diesen Post schön zu reposten. Ich würde dann versuchen, es aush dem Code rauszulesen.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 10. Mai 2015 14:09    Titel: Lsg der (b) Antworten mit Zitat

Ich lasse zunächst den Schrödingerpropagator auf wirken und schreibe (da wir setzen sollen)


Dann Bilde ich das SP


Oder das ganze auf einem anderen Weg:


Stimmt das so, oder habe ich es mir wieder zu einfach gemacht? Kann ich tatsächlich die Wirkung von als Differentialoperator auf die Gaussfkt. ignorieren? (Sonst Produktregel oder einfach die Gaussfkt ableiten und dann weiter mit dem Operator hinten)
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 10. Mai 2015 14:31    Titel: Re: Lösung der (a) Antworten mit Zitat

mathilope hat Folgendes geschrieben:

Mir ist nicht klar, warum N reell ist. Hier handelt es sich ja nicht um den echten reellen Ortsraum, sondern um einen vieldimensionalen Hilbertraum, der auch komplexe Werte enthält.

Das ist eine beliebte Konvention. Jeder andere Phasenfaktor wäre auch ok.
Zitat:

Kann mir jemensch erklären, wie ich die Gleichungen vernünftig anordnen kann? Vielleicht würde es schon reichen, diesen Post schön zu reposten. Ich würde dann versuchen, es aush dem Code rauszulesen.

Ich entnehmen Deinem zweiten Post, dass dies Problem gelöst ist. Augenzwinkern
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 10. Mai 2015 14:32    Titel: Re: Lsg der (b) Antworten mit Zitat

mathilope hat Folgendes geschrieben:
I
Stimmt das so, oder habe ich es mir wieder zu einfach gemacht? Kann ich tatsächlich die Wirkung von als Differentialoperator auf die Gaussfkt. ignorieren? (Sonst Produktregel oder einfach die Gaussfkt ableiten und dann weiter mit dem Operator hinten)

Du ignorierst das ja nicht, sonder fügst extra deswegen eine 1 ein. Allerdings solltest Du das schon machen bevor Du e^(-iatp) ins Integral ziehst. Ansonsten siehts gut aus.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 10. Mai 2015 15:13    Titel: Re:Re: Lösung der (a) / Lösung (c) Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
mathilope hat Folgendes geschrieben:

Kann mir jemensch erklären, wie ich die Gleichungen vernünftig anordnen kann? Vielleicht würde es schon reichen, diesen Post schön zu repos ausrichten?ten. Ich würde dann versuchen, es aush dem Code rauszulesen.

Ich entnehmen Deinem zweiten Post, dass dies Problem gelöst ist. Augenzwinkern

Ja das sieht besser aus, aber wie kann ich an den Gleichheitszeichen ausrichten? Eigentlich habe ich nur Glück gehabt, dass der Compiler die Zeilenumrbüche aus dem Code übernommen hat, aber warum ist default rechtsbündig?
jh8979 hat Folgendes geschrieben:

Du ignorierst das ja nicht, sonder fügst extra deswegen eine 1 ein. Allerdings solltest Du das schon machen bevor Du e^(-iatp) ins Integral ziehst. Ansonsten siehts gut aus.

Und der Operator arbeitet sich am vorderen teil ab, ich kann den Rest ignorieren?
Lsg. für (c)


Hatte bei den Posts gerade auch noch die Normierungen im letzten Schritt vergessen. Die müssen da noch hin.
mathilope
Gast





Beitrag mathilope Verfasst am: 10. Mai 2015 15:38    Titel: Weitere Korrektur/Interpretaion Antworten mit Zitat

mathilope hat Folgendes geschrieben:

Hatte bei den Posts gerade auch noch die Normierungen im letzten Schritt vergessen. Die müssen da noch hin.

Außerdem ist der Exponent negativ.

Interpretation:
alpha ist eine Geschwindigkeit. alpha*p also in der Dimension der kinetischen Energie. Das macht schonmal Sinn, es handelt sich ja um einen Hamiltonoperator.
Ich frage mich, warum die Form der Gaussglcoke erhalten bleibt. Der Erwartungswert bewegt sich mit alpha, das akzeptiere ich, aber warum zerfließt das Paket nicht wie bei einem freien Teilchen? Weil wir Richtung und Betrag der Geschwindigkeit festgelegt haben?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Mai 2015 13:34    Titel: Antworten mit Zitat

Ich komme mit deinen Rechnungen nicht klar.

Wir haben







Zunächst überlegt man sich, dass das H im Exponenten sicher nur auf den Ket |x> wirkt, d.h. nicht auf Zahlen und Funktionen von x. Man berechnet also



Dazu schiebt man die Eins



in p-Darstellung ein; dadurch wirkt der p-Operator im Exponenten auf einen p-Eigenzustand |k> und kann durch den Eigenwert k ersetzt werden:



Gesucht ist jedoch Wirkung des Operator auf einen Ortseigenket. Um dies zu erhalten mutlipliziert man von links mit der Eins in x-Darstellung



und erhält



Das k-Integral kann sofort ausgeführt werden und liefert



Damit ist nun das y-Integral über den Ket |y> lösbar und man erhält



Interpretation: der p-Operator erzeugt Orts-Translationen, er veschiebt den Ket entsprechend des Parameters im Exponenten.

Dieses Ergebnis kann man direkt in das ursprüngliche Integral einsetzen:



Zuletzt führt man noch eine Variablensubstitution durch





Da das Integral über ganz R läuft erhält man unmittelbar (wobei ich ' weglasse)



Durch Projektion auf <x| erhält man die Ortsraumwellenfunktion



d.h. es liegt ein wanderndes Gaußpaket vor.




Es ist eine nette Übung, das auch direkt für Ortsraumwellenfunktionen zu verifizieren. Man setzt





und wendet das auf eine Wellenfunktion an:



Das läuft also im Wesentlichen auf eine Taylorentwicklung hinaus.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Mai 2015 13:40    Titel: Re: Weitere Korrektur/Interpretaion Antworten mit Zitat

mathilope hat Folgendes geschrieben:
alpha ist eine Geschwindigkeit.

Richtig.

mathilope hat Folgendes geschrieben:
Ich frage mich, warum die Form der Gaußglocke erhalten bleibt.

Weil - wie oben gezeigt - der Translationsoperator in x vorliegt.

mathilope hat Folgendes geschrieben:
aber warum zerfließt das Paket nicht wie bei einem freien Teilchen?

Das liegt an der speziellen Form des Operators; dieser ist als Hamiltonoperator eines realen Systems physikalisch natürlich unsinnig. Überlege mal, was soll das für ein Hamiltonoperator sein? Insbs. ist er nicht positiv-semidefinit, hat also ein nach unten unbeschränktes Spektrum. Das ist physikalisch unsinnig.

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