Ausflussversuch

Karl der Grosse · Gast

Man betrachtet einen großen Zylinder, der bis zur Höhe h mit Wasser gefüllt ist. Unten bohrt man von der Seite ein kleines Loch hinein.
Mit welcher Geschwindigkeit spritzt jetzt das Wasser aus dem Loch. Der Wasserpegel im Zylinder soll sich dabei nicht ändern, also oben immer Wasser nachgeführt werden und der Querschnitt des Zylinders ist groß im Vergleich zu dem Loch.

Mit den klassischen Methoden aus dem Physikunterricht kommt man zu dem Ergebnis

indem man die potentielle Energie des Wassers mit der kinetischen gleichsetzt.

Ich habe nun folgende Überlegung gemacht: Der Druck ganz unten im Zylinder, also auch bei dem Loch beträgt

Wenn in dem Wasser Druck herrscht, dann fließt doch Impuls aller drei Komponenten in ebendiese Komponentenrichtung, also positiver x-Impuls fließt in positive x-Richtung usw.
Wenn wir jetzt das Koordinatensystem so wählen, dass z.B. die positive x-Richtung in Richtung des Wasserstrahls aus dem Loch zeigt, dann folgt doch, dass überall ganz unten im Zylinder x-Impuls in diese Richtung fließt. Und zwar gilt, bezogen auf eine Fläche A,

.
Dieser Impuls fließt in die Wand und über die Wand zurück auf die andere Seite des Zylinders, wo er wieder ins Wasser fließt. Nur an der kleinen Stelle, wo das Loch ist, fließt der Impuls nicht in die Wand, sondern wird konvektiv mit dem Wasserstrahl "abtransportiert".

Für die konvektive Impulsübertragung gilt doch für den Impulsstrom

.
Es muss aber gelten

von oben, da ja aller Impuls, der durch das Loch geht mit dem Wasserstrahl transportiert wird.
=>

(

)
=>

=>

Dieses Ergebnis stimmt nicht mit dem obigen überein. Es unterscheidet sich um einen Faktor Wurzel 2.
Trotzdem liegt es nahe, dass ich nur irgendwo einen kleinen Denkfehler gemacht habe oder irgendetwas vergessen habe. Nun ich habe lange nach einem Fehler gesucht, aber keinen gefunden.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Moin,

nicht immer liegt es an den (altbekannten) Naturgesetzen wenn eigene Überlegungen mit ihnen kollidieren. Dieses Torricelli-Gesetz sieht man sofort abhand eines Teilchens im Ausströmfaden (Energie) oder unten anhand der Druckänderung im Ausströmbereich (Bernoulli).

Auch hier gilt strenggenomen der Impulssatz, wenn also rechts ein Flüssigkeitsimpuls entsteht, gibt es auch einen (unmerklichen) "Rückstoß", der normalerweise von der Erde abgefangen wird. f.

Systemdynamiker · Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 594 Wohnort: Flurlingen

Du hast keinen Denkfehler gemacht, sondern sehr präzis überlegt (präziser als manche Autoren von Schulbüchern). Wenn man bei diesem Problem Energie und Impuls sauber bilanziert, bekommt man diesen Widerspruch. Die Natur löst das Problem, indem der austretende Strahl einen kleineren Durchmesser hat als das Loch (theoretisch dürfte der Querschnitt nur 50% betragen; weil im Beschleunigungsgebiet des Wasser Impuls auch seitwärts fliessen kann, sind es je nach Form der Mündung 60% oder mehr).

Du findest eine kurze Erklärung im Systemphysik-Wiki: http://systemdesign.ch/index.php?title=Strahlkontraktion