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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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 Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 09:53 Titel: Spiegelladungsmethode |
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Meine Frage:
Die Spiegelladungsmethode zur Lösung der Poisson-Gleichung  in einem Raumbereich V mit Dirichlet Randbedingung  besteht darin, zunächst eine Punktladung in V zu betrachten und fiktive Spiegelladungen außerhalb von V einzuführen, welche helfen, die Randbedinungen zu erfüllen.
a). Betrachten Sie zunächst eine Punktladung q, die im Abstand d vor einer geerdeten, unendlichen ausgedehnten, ebenen Metallplatte festgehalten wird. Die ideal leitende Platte befinde sich bei x1=0. Bestimmen Sie das Potential für x1 > 0, indem Sie eine Spiegelladung q* bei  einführen, um die Randbedingung =0 ) zu erfüllen.
b).Argumentieren Sie aus (a), dass die Greensche Funktion für den Halbraum x1 > 0 mit Randbedingung  für x1=0 die Form:
= \frac{1}{4\pi } [\frac{1}{\left| \vec{x}-\vec{y} \right| } - \frac{1}{\left| \vec{x}-\vec{y^*} \right| } ] )
hat, wo  den an der Metallplatte gespiegelten Punkt  bezeichnet. Prüfen Sie explizit nach ,dass gilt
 = \delta (\vec{x} - \vec{y} )
<br />
) sowie
=0 ) für y1=0 (Randbedingung)
= G(\vec{y}, \vec{x} )) ( Symmetrie)
Hinweis:
Sie dürfen die Distributions- Identität 
<br />
) für 3-dimensionale Vektoren  benutzen.
c). kommt
d). kommt
Meine Ideen:
Also ich habe die Aufgabe a) berechnet und habe als Ergebnis, dass das Potential =0.
Wie soll ich die Aufgabe b) anfangen???
Gruß,
Karoline |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:15 Titel: |
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Ist der Punkt y einfach irgendein beliebiger Punkt mit den Koordinaten (x1,x2,x3)? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 10:15 Titel: |
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Du sollst zeigen, dass das die Grennsche Funktion für dieses Randwertproblem ist. Wenn Du (a) hast, dann sollte das sehr einfach sein. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:19 Titel: |
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Ja, ist aber nicht. Ich brauche ein Ansatz..... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 10:20 Titel: |
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Was hast Du denn bei (a) raus fürs Potential und welche Gleichungen erfüllt das Potential? |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:24 Titel: |
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Das Potential ist gleich Null und erfüllt die Poisson Gleichung
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:27 Titel: |
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Moment, dass das Potential = 0, ist die Randbedingung, und ich habe das nur bestätigt..... Gleich kommt meine Lösung zu a). |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:38 Titel: |
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= \frac{1}{4\pi \epsilon _{0} } [\frac{q}{\left| \vec{r}-\vec{x_0} \right| } + \frac{q^*}{\left| \vec{r}-\vec{x^*} \right| } ] + \Phi_0 )
; q^*=-q; x^*= (-x_0, 0 ,0))
= \frac{1}{4\pi \epsilon _{0} } [\frac{q}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} x_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| } -
<br />
\frac{q}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -x_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| } ] + \Phi_0= \Phi_0)
Zuletzt bearbeitet von Karoline am 03. Jul 2014 13:43, insgesamt 6-mal bearbeitet |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:39 Titel: |
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So, genau, und das bedeutet, dass das Potential für x>0 gleich Null ist |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 10:42 Titel: |
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Auf der linken Seite ist ein Delta zuviel und das Potential ist 0 für x=0 nicht x>0.
Wie sieht denn die Ladungsdichte aus?
und dann vergleich das mal mir den Gleichungen die die Greensfunktion erfüllen muss. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 10:51 Titel: |
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OK, dann ist die Teilaufgabe a)falsch, weil ich das Potential für x>0 bestimmen soll... nicht wahr? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 11:17 Titel: |
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Ja genau, aber es soll doch nur fuer x=0 verschwinden (bzw konstant phi0 sein). Für x>0 muss es doch nicht verschwinden (und tut es auch nicht). |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 11:20 Titel: |
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Achso. Also d.h. dass ich die Aufgabe a) in dieser Form lassen darf.. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 11:39 Titel: |
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Ja.. im Prinzip schon... nur dass das Potential dann 0 ist bei x=0, in der Aufgabe steht es soll phi0 sein, aber das ist nur eine kleine Änderung. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 11:48 Titel: |
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Also so wie ich das jetzt geändert habe? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 12:06 Titel: |
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Nein, phi0 ist doch nicht notwendigerweise 0... |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 12:07 Titel: |
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Sorry, dann weiß ich nicht, wie du das meinst. Kannst du das bitte umändern? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 13:33 Titel: |
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Wie waere es denn phi0 hinzuzuaddieren? dann ist bei x=0, phi=phi0. Gilt die Poissongleichung dann auch noch? |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 13:43 Titel: |
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so? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 13:45 Titel: |
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Ja, aber es wäre vllt schöner nicht immer im ursprünglichen Post zu editieren, falls das hier nochmal jemand lesen will. |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 13:49 Titel: |
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Ok, stimmt.
Dann bin ich jetzt bei der Aufgabe b). Ich komme nun zu deiner Frage von vorher zurück:
Die Ladungsdichte kann man so berechnen:
= q \cdot \delta (\vec{r} - \vec{r_i} )) |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 13:56 Titel: |
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Und was soll ich damit anfangen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 13:57 Titel: |
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Jetzt vergleich doch mal die Gleichungen die phi erfüllt mir den Gleichungen die G erfüllen muss... |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 14:04 Titel: |
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= 0 \ , \ \ \ y_1=0) |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 14:11 Titel: |
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und nun? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 14:27 Titel: |
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Du hast gerade keine Lust nachzudenken oder? |
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Karoline
Anmeldungsdatum: 05.06.2014
Beiträge: 67
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| Karoline Verfasst am: 03. Jul 2014 14:28 Titel: |
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Doch, deswegen sitze ich bei der Aufgabe schon so lange und komme in der b) einfach nicht weiter. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 03. Jul 2014 14:31 Titel: |
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Was schaffst Du denn nicht bei (b)? Ich hab nicht das Gefühl, dass Du gerade (mit etwas Hilfe) versuchst Du Aufgabe selber zu lösen... |
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