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Nachricht |
MannyCC
Gast
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 MannyCC Verfasst am: 02. Jun 2014 16:00 Titel: Differentialgleichung für einen LR-Stromkreis |
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Halihalo^^, ich würde gerne folgende Aufgabe lösen.
Die Stromstärke I in einem LR-Stromkreis wird beschrieben durch die DGL
)'+RI(t)=U(t))
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von (LR) im Fall U(t)=U0.
Das lösen von DGL erster Ordnung ist mir aus der Mathematik bekannt. Hier bin ich jedoch etwas verwirrt. Ich denke das aus der Mathematik mir bekannte y ist hier I(t). y'=dy/dx und hier I(t)=dQ/dt oder?
Wären L und R demnach konstanten? Es wäre am besten wenn ich die Gleichung ins ,,mathematische_" übersetzen könnte.
Danke schön.^^
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 02. Jun 2014 16:27 Titel: |
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Na, I(t) == y(x)
L = const.
R = const.
U(t) = U0 = const.
Also ist L*y' + R*y = U0 deine DGL die es zu lösen gilt.
Die Lösung y(x) ist dann entsprechend dein I(t)
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MannyCC
Gast
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| MannyCC Verfasst am: 02. Jun 2014 19:11 Titel: |
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Danke sehr, das hilft bereits etwas. Ich schmunzel gerade um welche Art der DGL es sich denn nun handelt, deshalb habe ich erstmalk versucht etwas umzuformen, dabei gelange ich auf
I'(t) + (R/L) * I(t)=(U(t))/L
Das sieht aus wie y'+f(x)*y=g(x). Das heßt es ist eine inhomogene Lineare DGL 1. Ordnung. Die bestimme ich nun indem ich zunächst die homogene DGL betrachte und dessen Lösung bestimme.
I'(t) + (R/L) * I(t)=0
Es folgt mithilfe Variation der Konstanten: I(t)=k(t)*e^(- S f(t)dt)
Wobei f(t)= R/L ist. Also I(t)=k(t)*e^(-(R/L)*t)
Dabei handelt es sich um die vorläufige Lösung. Jetzt sollte ich die Ableitung erst einmal bestimmen. (Ist das bis hier hin richtig/falsch?)^^
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 02. Jun 2014 21:08 Titel: |
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Variation der Konstanten ist zwar OK, aber ein wenig über das Ziel hinausgeschossen (zumindest meiner Meinung nach).
Um die allgemeinene Ge Lösung zu erhalten brauchst du nur eine Lösung der homogenen DG zu einer partikulären Lösung addieren...
Eine partikuläre Lösung kannst du sofort hinschreiben, wenn du bedenkst, dass sich nach unendlich langer Zeit der Strom nicht mehr ändert, da U(t)=U0
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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MannyC
Anmeldungsdatum: 10.03.2014
Beiträge: 35
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| MannyC Verfasst am: 03. Jun 2014 12:44 Titel: |
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Halihalo, ich habe folgendes Ergebnis herraus. Ist das richtig oder falsch?
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| Dateigröße: |
13.75 KB |
| Angeschaut: |
6175 mal |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 03. Jun 2014 14:26 Titel: |
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Das ist prinzipiell richtig. Allerdings müsstest Du die Konstante C noch richtig bestimmen.
Die Frage ist nur, wie Du auf diesen zunächst etwas abenteuerlich aussehenden Ausdruck gekommen bist. Normalerweise würde man da so vorgehen:
Ansatz:
Partikuläre Lösung:
=\frac{U_0}{R})
Bestimmung der Lösung der homogenen Dgl.:
Trennung der Variablen:
Integrieren:
Delogarithmieren:
Konstantenbestimmung aus Anfangsbedingung:
=0=K+\frac{U_0}{R}\quad\Rightarrow\quad K=-\frac{U_0}{R})
Einsetzen:
Uo/R ausklammern.
)
Zuletzt bearbeitet von GvC am 03. Jun 2014 14:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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MannyCC
Gast
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| MannyCC Verfasst am: 03. Jun 2014 14:40 Titel: |
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Super, dann scheint also die Allgemeine Lösung der DGL richtig zu sein? Bin mir unsicher wegen dem ,,prinzipiell". Jetzt muss ich also noch C bestimmen, das heißt es handelt sich weiterhin um ein AWP. Aber normalerweise sollte doch dann etwas vorgegeben sein wie z.B. I(4)=6?
Ich habe die AusgangsDGL umgeformt zu
I'(t) + (R/L) * I(t)=(U(t))/L bzw.
I'(t) + (R/L) * I(t)=U0/L
Dabei handelt es sich um eine ingomogene Lineare DGL. 1. Ordnung die ich mithilfe Variation der Konstanten gelöst habe. Ich denke, alternativ sollte es auch laut schnudl mithilfe einer partikulären Lösung funktionieren, das hatten wir jedoch noch nicht. Werde es mir aber trotzdem mal anschauen, da es in meinem Lehrbuch behandelt wird.
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MannyCC
Gast
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| MannyCC Verfasst am: 03. Jun 2014 14:56 Titel: |
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Dein Edit hatte ich gerade erstw ahrgenommen, sorry. Ist denn die Allgemeine Lösung von mir richtig nun ?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 03. Jun 2014 14:58 Titel: |
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Ich habe inzwischen meinen vorigen Beitrag vervollständigt. Den solltest Du versuchen nachzuvollziehen.
| MannyCC hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt muss ich also noch C bestimmen, das heißt es handelt sich weiterhin um ein AWP. Aber normalerweise sollte doch dann etwas vorgegeben sein wie z.B. I(4)=6? |
Das wäre eher eine Angabe für eine partikuläre Lösung (wobei allerdings die partiluläre Lösung nach unendlich langer Zeit viel einfacher zu handhaben ist). Eine Anfangsbedingung bezieht sich dagegen immer, wie der Name schon sagt, auf den Zeitpunkt t=0.
Die Bedingung für t=0 müsste in der Schaltung vorgegeben sein. Allerdings vermute ich das nur, denn Du hast das in Deiner Aufgabenstellung verschwiegen. Ich vermute, dass es sich um eine R-L-Reihenschaltung handelt, die zum Zeitpunkt t=0 durch einen Schalter an eine Gleichspannungsquelle U0 angeschlossen wird. In dieser Vorgabe ist die Anfangsbedingung enthalten.
Der Strom durch eine Spule kann sich nicht sprunghaft ändern. Da der Strom vor dem Schalten Null war, muss er unmittelbar nach dem Schalten ebenfalls Null sein:
=i(-0)=0)
Daraus lässt sich dann die Konstante bestimmen.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 03. Jun 2014 15:01 Titel: |
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| MannyCC hat Folgendes geschrieben: | | Ist denn die Allgemeine Lösung von mir richtig nun ? |
Wie gesagt, wenn Du die Konstante C noch richtig bestimmst und den dadurch entstehenden Ausdruck ein bisschen vereinfachst, erhältst Du die klassische Lösung für den Stromverlauf durch eine Induktivität in einer R-L-Reihenschaltung, die zum Zeitpunkt t=0 an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen wird.
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