| Autor |
Nachricht |
Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
|
 Ula Verfasst am: 30. Mai 2014 18:30 Titel: Doppelmuldenpotential |
 |
|
Meine Frage:
Ein Massenpunktes der Masse m=1 bewege sich in dem eindimensionalen Potential V(x)=x^4 - 2x², wobei x eine eindimensionale Koordinate ist.
1). Skizzieren Sie das Potential. Welche Werte der Energie E sind möglich? Welchen Unterschied in der Bewegungsform gibt es für E > 0 und E < 0? Skizzieren Sie qualitativ die zu diesen beiden Fällen gehörigen Bahnen im Phasenraum ) . Was ist der maximale Wert für  bei gegebener Energie E?
2).
Bestimmen Sie die stabilen und instabilen Ruhelagen der Bewegung und die zugehörigen Energiewerte. Betrachten Sie nun kleine Schwingungen um die stabilen Ruhelage(n) und bestimmen Sie die (dimensionslose)Frequenz dieser Schwingung.
Meine Ideen:
zu 1):
Also ich denke, wenn E>0, dann schwingt der Massenpunkt über beide Mulden hinweg. Wenn E<0, dann kann sich der Massenpunkt in einer der Mulden befinden und hat keine Möglichkeit in die andere Mulde zu gelangen....
Mit der Skizze komme ich zurecht.
Ich brauche Hilfe bei der folgenden Fragen:
a) "Welche Werte der Energie E sind möglich?"
b)." Was ist der Was ist der maximale Wert für bei gegebener Energie E?"
2)....
Ula |
|
 |
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 30. Mai 2014 19:06 Titel: Re: Doppelmuldenpotential |
|
|
| Ula hat Folgendes geschrieben: | | a) "Welche Werte der Energie E sind möglich?" |
Wenn es ein globales Minimum in einem solchen Potential gibt, dann ist das auch der minimale Wert, den die Energie einer Masse annehmen kann, die sich im Potential bewegt.
| Ula hat Folgendes geschrieben: | | b)." Was ist der Was ist der maximale Wert für bei gegebener Energie E?" |
Die Gesamtenergie ist gegeben. Sie setzt sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammen. Wann wird also der kinetische Teil am größten werden?
| Ula hat Folgendes geschrieben: | | 2).... |
Ruhelagen sind bei Extremstellen des Potentials. Stabile im Minimum, instabile im Maximum. Die Energiewerte dazu sind die Werte des Potentials. Das ist also nicht weiter schwierig, oder?
Jetzt kommt wieder das mit dem harmonischen Oszillator, hatten wir ja schonmal bei einer Aufgabe, oder?
Generell kann man bei kleinen Schwingungen um ein Minimum in einem zweimal stetig differenzierbaren Potential immer in Näherung von einer harmonischen Schwingung ausgehen. Bei einem Minimum verschwindet ja die erste Ableitung des Potentials (ist ja die Voraussetzung für ein Minimum!). Die zweite ist positiv.
Wenn Du eine Taylor-Entwicklung des Potential machst, hast Du also erst einen konstanten Term, dann einen, der zwingend 0 ergeben muss und dann einen Term mit x² drin.
Der konstante Term bei einem Potential hat für die Bewegung ja keine weitere Relevanz. Ich kann ja immer nach Lust und Laune konstante Werte dazu addieren, ohne was an der Physik zu ändern. Die kleine Schwingung ist hier allerdings nicht bei x=0, sondern eben an den Minimum-Stellen. Bei einem normalen harmonischen Oszillator geht man ja eigentlich immer vom Minimum bei x=0 aus. Aber das ist ja nur, um die Rechnung zu vereinfachen... Prinzipiell kann man den Nullpunkt ja hinverschieben, wo man will. Man könnte z. B. eine neue Variable x' einführen, die eben gerade passend verschoben ist, so dass wirklich nur ein quadratischer Term der führende Term in der Taylorentwicklung wird.
Also folgende Aufgaben für Dich:
Wo sind die Extremstellen und welche Werte hat das Potential dort?
Nimm Dir eine der Minimum-Stellen und mache eine Taylorentwicklung um diesen Punkt. Schau mal, ob Du auf das Potential eines harmonischen Oszillators kommst (wie sieht das aus und wie ist dann die Lösung dafür, bzw. wie ist die Frequenz eines solchen harmonischen Oszillators?), wenn Du den Koordinatenursprung des Potentials passend verschiebst.
Gruß
Marco |
|
|
Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
|
| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 16:08 Titel: Re: Doppelmuldenpotential |
|
|
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Ula hat Folgendes geschrieben: | | a) "Welche Werte der Energie E sind möglich?" |
Wenn es ein globales Minimum in einem solchen Potential gibt, dann ist das auch der minimale Wert, den die Energie einer Masse annehmen kann, die sich im Potential bewegt.
|
Also die Energie kann diese Werte annehnem: 0, -1 und +1.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
| Ula hat Folgendes geschrieben: | | b)." Was ist der Was ist der maximale Wert für bei gegebener Energie E?" |
Die Gesamtenergie ist gegeben. Sie setzt sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammen. Wann wird also der kinetische Teil am größten werden?
|
Der kinetische Teil wird am größten werden, wenn der Potentielle minimal ist. Also bei x=1 und x = -1.
Dann ist es (m=1):
 für x= 1 und x = -1.
Hast du es so gemeint?
Gruß,
Ula |
|
|
Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
|
| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 16:22 Titel: Re: Doppelmuldenpotential |
|
|
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Ruhelagen sind bei Extremstellen des Potentials. Stabile im Minimum, instabile im Maximum. Die Energiewerte dazu sind die Werte des Potentials. |
Also dann die stabile Ruhelage ist bei:
x=-1 --> V(-1)=-1
x = 1 --> (1)=-1
die instabile Ruhelage ist bei
x=0 --> V(0)=0 |
|
|
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 01. Jun 2014 16:59 Titel: Re: Doppelmuldenpotential |
|
|
| Ula hat Folgendes geschrieben: | | as_string hat Folgendes geschrieben: | | Ula hat Folgendes geschrieben: | | a) "Welche Werte der Energie E sind möglich?" |
Wenn es ein globales Minimum in einem solchen Potential gibt, dann ist das auch der minimale Wert, den die Energie einer Masse annehmen kann, die sich im Potential bewegt.
|
Also die Energie kann diese Werte annehnem: 0, -1 und +1. |
Wie so nicht 0,5 oder -0,5 oder 1000 oder so? Verstehe ich nicht.... Richtig ist, dass es nicht kleiner als -1 werden kann. Warum?
| Ula hat Folgendes geschrieben: | | Hast du es so gemeint? |
Ja, denke schon. |
|
|
Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
|
| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 17:17 Titel: |
|
|
Ja, stimmt, also die Energie kann die Werte von -1 bis unendlich annehmen. Weniger als -1 nicht, weil - 1 der minimale Wert ist.
Gruß,
Ula[/latex] |
|
|
Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
|
| Ula Verfasst am: 01. Jun 2014 19:35 Titel: |
|
|
zu 2).
= -1 + 0 + 4( x-1)² + 4 (x-1)³)
.....
Bei eine harmonischem Oszillator gilt:
 |
|
|
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 01. Jun 2014 20:19 Titel: |
|
|
| Ula hat Folgendes geschrieben: | zu 2).
|
Ja, genau, das habe ich auch.
| Ula hat Folgendes geschrieben: | Bei eine harmonischem Oszillator gilt:
|
Das ist schon die Bewegungsgleichung. Das oben war aber das Potential!
Das Potential eines harmonischen Oszillator ist:
wobei m=1 nach wie vor gilt.
Der "Trick" ist jetzt, wie ich oben schon versucht hatte zu erklären: Die führende -1 im Potential ist egal: Absolutwerte spielen in einem Potential ja keine Rolle für die Bewegung. Man kann einfach eine 1 zum Potential dazu addieren und hat physikalisch die selbe Situation. Klar, die Energiewerte für die jeweilige Bewegung ist dann auch um 1 größer, aber das ist ja auch nur eine Zahl... Das ist so ähnlich wie bei den Energiebilanz-Rechnungen in der Schule, wo man das "Nullniveau" auch frei wählen konnte/musste.
Das zweite Glied ist 0, weil wir das ja gerade so bestimmt hatten, sonst wäre dort ja keine Extremstelle.
Das dritte Glied ist positiv, weil wir nach einem Minimum gesucht hatten, nicht nach einem Maximum. Nur in einem Potential-Minimum kann es zu Schwingungen kommen. Um ein Maximum herum, also bei einem instabilen Gleichgewicht, kann das nicht funktionieren: Gibt es eine kleine Auslenkung, dann existiert keine "rücktreibende Kraft", sondern sogar eine "wegtreibende".
Beim normalen harmonischen Oszillator schwingt die Masse um x=0 herum, weil dort das Potential sein Minimum hat. Das ist aber eigentlich nur Konvention: Man könnte auch den Nullpunkt der x-Achse beliebig verschieben, dann wäre das Minimum auch woanders, aber das ganze sicherlich immer noch ein harmonische Oszillator!
Wir könnte auch in der Aufgabe einfach eine andere x-Achse annehmen, vielleicht eine x'-Achse, mit x' = x-1. Oder für die andere Nullstelle noch eine andere.
Dann würde das Potential nach Taylor-Entwicklung also diese Form annehmen:
Wenn man jetzt von kleinen Schwingungen ausgeht, dann kann man den ^3-Therm auch ignoriern. Vergleich das mal mit dem Potential des harmonischen Oszillators dann.
Kannst Du dem folgen oder bleibt noch etwas unklar?
Gruß
Marco |
|
|
Ula
Anmeldungsdatum: 25.05.2014
Beiträge: 23
|
| Ula Verfasst am: 03. Jun 2014 16:19 Titel: |
|
|
Also dann habe ich
Außerdem weiß ich, dass
<br />
und\ V=\frac{1}{2} = \omega ² x ) |
|
|
as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
|
| as_string Verfasst am: 03. Jun 2014 19:57 Titel: |
|
|
Ich glaube, das zweite Gleichheitszeichen in der letzten Zeile ist irgendwie falsch, oder?
Ja, ansonsten ist das doch schon sehr gut! Dann ist also ½w² = 4 und damit kannst Du die Frequenz berechnen, oder?
Gruß
Marco |
|
|
U l a
Gast
|
| U l a Verfasst am: 03. Jun 2014 20:07 Titel: |
|
|
|
Ja. =war falsch. Ja. Ich kann das nun berechnen |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen