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Fontes
Gast
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 Fontes Verfasst am: 22. Jan 2014 11:50 Titel: Übergangswahrscheinlichkeiten |
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Gegeben sei ein Atom mit 2 Energieeigenzuständen |0>, |1>. Es wird beschrieben durch:
Das Atom sei zunächst im Grundzustand. Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Laser eingeschaltet und aufs Atom gehalten. Dann gibt's also einen zeitabhängigen Störterm:  = \lambda \sigma_x cos(\omega_L t))
Frage: Wie sieht in 1. Ordnung zeitabhängige Störungstheorie Übergangsamplitude / Übergangswahrscheinlichkeit in den angeregten Zustand aus.
Mit der zeitunabhängigen Störungstheorie komme ich gut zurecht. Mit der zeitabhängigen habe ich noch so meine Schwierigkeiten, da ich bisher noch kein einziges Beispiel vorgerechnet gesehen habe.
Die Formel für die Übergangsamplitude von |n> nach |m> ist:
|\psi(t)> = <m|n> + \frac{1}{i \hbar} \int_0^t \! e^{i(E_m - E_n)t'/\hbar} <m|V(t')|n>\, \dd t' )
Dann würde ich zunächst schreiben:
|n> = \lambda cos(\omega_L t')<1| \sigma_x |0>)
Mich irritiert jetzt die |0> und |1> ein wenig. Das sind doch hier Energiezustände und nicht Spin-Up, Spin-Down-Zustände. Wie wertet man den Ausdruck  dann konkret aus? Und was sind dann E_m und E_n. In der Theorie hatte ich das bei der Herleitung so verstanden, dass das die Eigenwerte- und Zustände des ungestörten Operators sein sollten. Also eigentlich in diesem Fall die Eigenwerte 0 und 1 und Zustände  und  der Pauli-Matrix  . Da hier jetzt aber von Energieeigenzuständen die Rede ist, bin ich mir nicht mehr sicher ... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2014 12:04 Titel: |
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Du scheinst weniger ein Problem mit Störungsrechnung zu haben, als mit grundlegenden Fragen der Notation: In Bra-Ket-Notation lautet der ungestörte Hamiltonian:
 ) ,
wobei |0> der Grundzustand ist und |1> der angeregte Zustand. In Matrixform geschrieben ist das dann gerade
 = \frac{\hbar\omega}{2} \sigma_z)
Entsprechendes gilt für der Wechselwirkung. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 22. Jan 2014 12:15 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Du scheinst weniger ein Problem mit Störungsrechnung zu haben, als mit grundlegenden Fragen der Notation |
Ja, die Bra-Ket-Notation sitzt ist teilweise auch noch nicht so richtig.
Also ist dann tatsächlich  ,  Und
 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 ) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2014 12:57 Titel: |
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| Fontes hat Folgendes geschrieben: |
Also ist dann tatsächlich ,
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Nein, das sind nicht die Energieeigenwerte der Beiden Zustände.
| Zitat: |
Und
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Jein:  , aber Was dazwischen an Vektoren und Matrizen steht ist  und das ist Null. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 22. Jan 2014 13:18 Titel: |
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Argh. Verschrieben.
 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 )
sollte es heißen. Sonst wäre ich ja gar nicht auf die 1 als Ergebnis gekommen. 
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Fontes hat Folgendes geschrieben: |
Also ist dann tatsächlich ,
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Nein, das sind nicht die Energieeigenwerte der Beiden Zustände. |
Hmm. Sondern?
Sorry wenn ich mich blöd anstelle, aber einmal muss ich die Rechnung einfach gesehen haben, um es zu begreifen. Ich hätte jetzt gedacht, wenn die Übergangswahrscheinlichkeit von |n> nach |m> gesucht ist, dass  die Energie (Eigenwert von  im Grundzustand) ist. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2014 13:50 Titel: |
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| Fontes hat Folgendes geschrieben: | Argh. Verschrieben.
sollte es heißen. Sonst wäre ich ja gar nicht auf die 1 als Ergebnis gekommen.
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Auch das ist falsch. Diese Vektor-Matirx-Schreibweise ist  .
| Zitat: |
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Fontes hat Folgendes geschrieben: |
Also ist dann tatsächlich ,
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Nein, das sind nicht die Energieeigenwerte der Beiden Zustände. |
Hmm. Sondern?
Sorry wenn ich mich blöd anstelle, aber einmal muss ich die Rechnung einfach gesehen haben, um es zu begreifen. Ich hätte jetzt gedacht, wenn die Übergangswahrscheinlichkeit von |n> nach |m> gesucht ist, dass die Energie (Eigenwert von im Grundzustand) ist. |
Sorry, ich hab mich vllt missverständlich ausgedrückt: En, Em sind die Energieeigenwerte, aber die Energieeigenwerte sind nicht 0 und 1. Das meinte ich. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 22. Jan 2014 14:10 Titel: Re: Übergangswahrscheinlichkeiten |
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Meinst du weil ich den Term  vergessen habe? Also 0 und oder ist das auch falsch? Die Eigenwerte von der Pauli-Matrix z sind doch 0 und 1.  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2014 14:15 Titel: Re: Übergangswahrscheinlichkeiten |
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| Fontes hat Folgendes geschrieben: | | Die Eigenwerte von der Pauli-Matrix z sind doch 0 und 1. |
Eben nicht. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 22. Jan 2014 14:21 Titel: |
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Huch, wie komme ich denn auf 0? 1 und -1 sind die Eigenwerte natürlich.
Also  .
Dann kann ich jetzt aber im Exponenten  schreiben und das Integral dann berechnen, oder? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2014 14:35 Titel: |
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Ja. |
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Fontes
Gast
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| Fontes Verfasst am: 22. Jan 2014 14:44 Titel: |
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Supi, vielen Dank.
Eine Frage hätte ich jetzt aber schon noch. Du hast mich gerade korrigiert bei der Schreibweise für  . Bei Wikipedia stehen |0> und |1> aber tatsächlich so, wie ich es hier geschrieben habe. Ist das nur Definitionssache oder ist das falsch bei Wiki? Denn das hätte hier ja auch Folgen für das Vorzeichen meiner Eigenenergien (das höhere Niveau positiv oder negativ?). |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2014 14:47 Titel: |
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Es kommt drauf an wie du |0> und |1> definierst. Ich würde |0> als Grundzustand mit der geringeren Energie definieren. Wenn Du willst kannst Du es natürlich auch andersrum machen, aber dann ändern sich in Deiner Rechnung auch alle anderen Bezeigungen und Du kommst (natürlich) auf dasselbe Ergebnis. |
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